Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Duas equações gerais proporcionais representam a mesma reta.

Passo 1

O enunciado afirma: “Duas equações gerais proporcionais representam a mesma reta.” Vou explicitar claramente o que isso quer dizer e quais informações são relevantes.
  • A forma geral de uma reta no plano é dada por ax+by+c=0, onde a,b,c são números reais e pelo menos um entre a,b é diferente de zero (caso contrário não é reta).
  • Duas equações são ditas proporcionais quando existe um escalar k tal que a'=ka,\qquad b'=kb,\qquad c'=kc.Ou seja, os vetores de coeficientes (a',b',c') e (a,b,c) são colineares.
  • A pergunta implícita é: sempre que duas equações gerais forem proporcionais (isto é, tiverem coeficientes proporcionais por algum k), elas representam geometricamente a mesma reta? Preciso responder sim ou não e justificar algebraica e geometricamente, explorando casos especiais.

Passo 2

Prova algébrica do caso “bom” (constante de proporcionalidade k\neq0).
  • Suponha que (a',b',c')=k(a,b,c) com k\neq0. Então a segunda equação é a'x+b'y+c'=0 \quad\Longleftrightarrow\quad k(ax+by+c)=0.
  • Como k\neq0, multiplicar ou dividir uma igualdade por k preserva a equivalência. Logo k(ax+by+c)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad ax+by+c=0.
  • Conclusão algébrica: se os coeficientes são proporcionais por um escalar k\neq0, as duas equações têm exatamente o mesmo conjunto de soluções (x,y). Portanto representam a mesma reta.
Comentário didático: multiplicar a equação inteira por um número não nulo não altera a condição que os pontos (x,y) têm de satisfazer — é a mesma condição, apenas escrita com coeficientes diferentes.

Passo 3

Interpretação geométrica e intuição (por que faz sentido geometricamente).
  • Os coeficientes a e b determinam um vetor normal à reta, \mathbf{n}=(a,b). A reta é o conjunto de pontos \mathbf{x}=(x,y) tais que \mathbf{n}\cdot\mathbf{x}+c=0.
  • Se multiplicamos (a,b,c) por k\neq0, obtemos (ka,kb,kc). O vetor normal fica k\mathbf{n}, que aponta na mesma direção (ou na direção oposta se k<0); geometricamente a direção normal não muda. A equação k\mathbf{n}\cdot\mathbf{x}+kc=0 é a mesma condição porque é equivalente a \mathbf{n}\cdot\mathbf{x}+c=0 dividindo por k.
  • Uma descrição alternativa: a distância orientada da reta à origem é -c/\|\mathbf{n}\|. Se multiplicarmos (a,b,c) por k, tanto o numerador quanto o denominador são multiplicados por |k|, de modo que a razão (a distância) permanece igual. Portanto a posição da reta no plano não muda.
Exemplo concreto: 2x+4y-6=0 e x+2y-3=0 têm (a,b,c)=(2,4,-6) e (1,2,-3) com k=\tfrac12; ambas representam exatamente a mesma reta.

Passo 4

Casos degenerados e por que a afirmação, sem ressalvas, pode falhar.
  • Se o escalar de proporcionalidade for k=0, então (a',b',c')=(0,0,0) e a segunda equação é 0x+0y+0=0, ou seja 0=0, que é uma identidade verdadeira para todo (x,y) (representa o plano inteiro). Isso NÃO é a mesma coisa que uma reta. Assim, afirmar sem restrição “equações proporcionais representam a mesma reta” é falsa se se permitir k=0.
  • Outros degraus degenerados:
    • Uma equação com a=b=0 e c\neq0 é 0x+0y+c=0, ou seja c=0 impossível: representa o conjunto vazio. Isso também não é uma reta. Tal equação não é proporcional a uma equação de reta comum com a ou b não nulos, porque não existe k que torne ka=0 e kb=0 sem que a=b=0.
    • Se (a,b,c)=(0,0,0) e a outra tupla é não nula, então existe k tal que (0,0,0)=k(a,b,c) apenas se k=0; mas isso dá a relação mencionada acima que leva ao caso tautológico 0=0. Novamente, não representam a mesma reta.
Resumo dos contraexemplos numéricos:
  • Linha válida: x+y-1=0. Multiplicando por 0 obtém-se 0=0, que já não é a reta original.
  • Equação impossível: 0x+0y+1=0 (sem solução) não representa reta e não é equivalente a uma equação de reta.

Passo 5

Conclusão clara, com condição necessária e suficiente.
  • Afirmação verdadeira com ressalva: duas equações gerais são equações da mesma reta se, e somente se, seus vetores de coeficientes são proporcionais por um escalar k\neq0 e ambas as equações representarem retas (isto é, em cada uma pelo menos um entre a,b é não nulo).
  • Formalmente: dado ax+by+c=0 e a'x+b'y+c'=0, estas representam a mesma reta exatamente quando existe k\in\mathbb{R}\setminus\{0\} tal que (a',b',c')=k(a,b,c).
  • Se k=0 ou se uma das equações é degenerada ( a=b=0), então a proporcionalidade não garante (e geralmente não há) coincidência de retas.

Resposta

Verdadeiro, desde que a constante de proporcionalidade k seja diferente de zero e ambas as equações sejam equações de reta (isto é, em cada uma pelo menos um entre a,b é não nulo). Caso contrário (por exemplo k=0 ou coeficientes degenerados como a=b=0) a equivalência falha.

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