Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Duas equações gerais proporcionais representam a mesma reta.
Duas equações gerais proporcionais representam a mesma reta.
Passo 1
O enunciado afirma: “Duas equações gerais proporcionais representam a mesma reta.” Vou explicitar claramente o que isso quer dizer e quais informações são relevantes.
- A forma geral de uma reta no plano é dada por
, onde são números reais e pelo menos um entre é diferente de zero (caso contrário não é reta). - Duas equações são ditas proporcionais quando existe um escalar
tal que Ou seja, os vetores de coeficientes e são colineares. - A pergunta implícita é: sempre que duas equações gerais forem proporcionais (isto é, tiverem coeficientes proporcionais por algum
), elas representam geometricamente a mesma reta? Preciso responder sim ou não e justificar algebraica e geometricamente, explorando casos especiais.
Passo 2
Prova algébrica do caso “bom” (constante de proporcionalidade
).
- Suponha que
com . Então a segunda equação é - Como
, multiplicar ou dividir uma igualdade por preserva a equivalência. Logo - Conclusão algébrica: se os coeficientes são proporcionais por um escalar
, as duas equações têm exatamente o mesmo conjunto de soluções . Portanto representam a mesma reta.
Comentário didático: multiplicar a equação inteira por um número não nulo não altera a condição que os pontos
têm de satisfazer — é a mesma condição, apenas escrita com coeficientes diferentes.
Passo 3
Interpretação geométrica e intuição (por que faz sentido geometricamente).
- Os coeficientes
e determinam um vetor normal à reta, . A reta é o conjunto de pontos tais que . - Se multiplicamos
por , obtemos . O vetor normal fica , que aponta na mesma direção (ou na direção oposta se ); geometricamente a direção normal não muda. A equação é a mesma condição porque é equivalente a dividindo por . - Uma descrição alternativa: a distância orientada da reta à origem é
. Se multiplicarmos por , tanto o numerador quanto o denominador são multiplicados por , de modo que a razão (a distância) permanece igual. Portanto a posição da reta no plano não muda.
Exemplo concreto:
e
têm
e
com
; ambas representam exatamente a mesma reta.
Passo 4
Casos degenerados e por que a afirmação, sem ressalvas, pode falhar.
- Se o escalar de proporcionalidade for
, então e a segunda equação é , ou seja , que é uma identidade verdadeira para todo (representa o plano inteiro). Isso NÃO é a mesma coisa que uma reta. Assim, afirmar sem restrição “equações proporcionais representam a mesma reta” é falsa se se permitir . - Outros degraus degenerados:
- Uma equação com
e é , ou seja impossível: representa o conjunto vazio. Isso também não é uma reta. Tal equação não é proporcional a uma equação de reta comum com ou não nulos, porque não existe que torne e sem que . - Se
e a outra tupla é não nula, então existe tal que apenas se ; mas isso dá a relação mencionada acima que leva ao caso tautológico . Novamente, não representam a mesma reta.
- Uma equação com
Resumo dos contraexemplos numéricos:
- Linha válida:
. Multiplicando por obtém-se , que já não é a reta original. - Equação impossível:
(sem solução) não representa reta e não é equivalente a uma equação de reta.
Passo 5
Conclusão clara, com condição necessária e suficiente.
- Afirmação verdadeira com ressalva: duas equações gerais são equações da mesma reta se, e somente se, seus vetores de coeficientes são proporcionais por um escalar
e ambas as equações representarem retas (isto é, em cada uma pelo menos um entre é não nulo). - Formalmente: dado
e , estas representam a mesma reta exatamente quando existe tal que - Se
ou se uma das equações é degenerada ( ), então a proporcionalidade não garante (e geralmente não há) coincidência de retas.
Resposta
Verdadeiro, desde que a constante de proporcionalidade
seja diferente de zero e ambas as equações sejam equações de reta (isto é, em cada uma pelo menos um entre
é não nulo). Caso contrário (por exemplo
ou coeficientes degenerados como
) a equivalência falha.