Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Conhecer um ponto da reta e um vetor diretor é suficiente para determinar a reta.

Passo 1

O enunciado fornece uma única afirmação a ser verificada e justificada: “Conhecer um ponto da reta e um vetor diretor é suficiente para determinar a reta.”
O que se pede:
  • Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa;
  • Justificar cada resposta com argumentos algébricos e geométricos;
  • Explicar por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Informações úteis que partem da própria afirmação (estas são as hipóteses que vamos usar):
  • Há um ponto conhecido da reta, que chamo de \,P_0.
  • Há um vetor chamado “vetor diretor”, que chamo de \mathbf{v} (pode ser qualquer vetor, possivelmente o vetor nulo).
  • O espaço ambiente é o espaço afim usual (por exemplo \mathbb{R}^2 ou \mathbb{R}^3). Nada mais foi dado explicitamente.

Passo 2

Definição algébrica padrão de reta a partir de ponto e vetor diretor. Vou explicar e justificar com calma.
Seja \,P_0 um ponto e \mathbf{v} um vetor. A fórmula paramétrica que usualmente se usa é
L(P_0,\mathbf{v})=\{\,P_0+t\,\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\,\}.
O que isso significa, peça por peça:
  • \,P_0 é um ponto da reta (pode escrever as coordenadas \,P_0=(x_0,y_0) em \mathbb{R}^2 ou (x_0,y_0,z_0) em \mathbb{R}^3).
  • \mathbf{v} é o vetor diretor; escrevendo \mathbf{v}=(a,b) em \mathbb{R}^2 ou (a,b,c) em \mathbb{R}^3.
  • A expressão P_0+t\mathbf{v} gera todos os pontos obtidos ao partir de P_0 e ir na direção de \mathbf{v} uma distância proporcional a t. Variando t por todos os reais, percorre-se uma reta afim (uma “linha” infinita) quando \mathbf{v}\neq\mathbf{0}.
Por que essa forma realmente descreve uma reta (argumento algébrico claro): tome quaisquer dois pontos da forma P_0+t_1\mathbf{v} e P_0+t_2\mathbf{v}. A diferença entre eles é
(P_0+t_1\mathbf{v})-(P_0+t_2\mathbf{v})=(t_1-t_2)\mathbf{v},
ou seja, o vetor que une dois pontos quaisquer dessa coleção é um múltiplo de \mathbf{v}. Todos os vetores entre pontos do conjunto são colineares com \mathbf{v}, o que caracteriza geometricamente uma reta (ou uma tradução de uma subespaço unidimensional). Portanto, quando \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, o conjunto é uma reta unidimensional.

Passo 3

Discussão da unicidade: dado P_0 e \mathbf{v} (não nulo), a reta é determinada de forma única? Vou mostrar por que sim, e quais ambiguidades existem na representação.
Ambiguidade óbvia da representação: escala do vetor diretor. Se \lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0\}, então
L(P_0,\mathbf{v})=L\bigl(P_0,\lambda\mathbf{v}\bigr),
porque P_0+t\lambda\mathbf{v}=P_0+(t\lambda)\mathbf{v} e ao variar t em \mathbb{R} obtém-se exatamente os mesmos pontos. Geometricamente isso corresponde a dizer que o vetor diretor só define a direção (sentido e magnitude não são essenciais; magnitude pode ser absorvida pelo parâmetro t). Isso não quebra a unicidade da reta; apenas muda a parametrização.
Agora, prova de que não existe outra reta distinta que contenha P_0 e tenha a mesma direção \mathbf{v} (quando \mathbf{v}\neq\mathbf{0}). Suponha que exista outra reta L' que passa por P_0 e cujo vetor diretor \mathbf{w} é paralelo a \mathbf{v}; então \mathbf{w}=\lambda\mathbf{v} para algum \lambda\neq 0. Para qualquer t temos
P_0+t\mathbf{v}=P_0+(t/\lambda)\mathbf{w}\in L',
logo L(P_0,\mathbf{v})\subseteq L'. Pelo mesmo raciocínio inverso L'\subseteq L(P_0,\mathbf{v}). Assim L'=L(P_0,\mathbf{v}). Portanto não há duas retas distintas com o mesmo ponto e com direções paralelas: a reta é única.

Passo 4

Casos degenerados: quando a afirmação falha.
O ponto crítico é o vetor diretor nulo. Se \mathbf{v}=\mathbf{0} então
L(P_0,\mathbf{0})=\{P_0+t\mathbf{0}\mid t\in\mathbb{R}\}=\{P_0\}.
Isso não é uma reta no sentido usual (é um conjunto com um único ponto, dimensão zero). Geometricamente, um vetor diretor deve ser não-nulo para indicar uma direção; o vetor zero não fornece direção alguma. Portanto, se a hipótese original não exige \mathbf{v}\neq\mathbf{0}, a afirmação é falsa: conhecer um ponto e o vetor nulo não determina uma reta, determina apenas um ponto.
Resumo do caso degenerado: a condição necessária para que a forma paramétrica defina uma reta é \mathbf{v}\neq\mathbf{0}.

Passo 5

Condição necessária e suficiente para que duas representações paramétricas definam a mesma reta. Isto é útil para entender “por que certas formas algébricas funcionam e outras falham”.
Sejam L(P_0,\mathbf{v}) e L(Q_0,\mathbf{w}). Então
L(P_0,\mathbf{v}) = L(Q_0,\mathbf{w})
se, e somente se, valem simultaneamente:
  1. \mathbf{w} é paralelo a \mathbf{v} (isto é, \mathbf{w}=\lambda\mathbf{v} para algum \lambda\neq 0); e
  2. Q_0-P_0 é um múltiplo de \mathbf{v} (isto é, Q_0\in L(P_0,\mathbf{v})).
Prova (esboço algébrico):
  • (Necessidade) Se as duas retas coincidem então Q_0\in L(P_0,\mathbf{v}), logo Q_0-P_0=(t_0)\mathbf{v} para algum t_0. Além disso, o vetor diretor \mathbf{w} de L(Q_0,\mathbf{w}) deve ser paralelo a qualquer vetor que una dois pontos de L(Q_0,\mathbf{w}); como esses pontos também pertencem a L(P_0,\mathbf{v}), segue que \mathbf{w} é paralelo a \mathbf{v}.
  • (Suficiência) Se \mathbf{w}=\lambda\mathbf{v} e Q_0-P_0=t_0\mathbf{v}, então qualquer ponto Q_0+s\mathbf{w}=P_0+(t_0+s\lambda)\mathbf{v} pertence a L(P_0,\mathbf{v}), logo L(Q_0,\mathbf{w})\subseteq L(P_0,\mathbf{v}); simetricamente obtemos a inclusão oposta, logo igualdade.
Geometricamente: duas parametrizações representam a mesma reta se têm a mesma direção (vetores diretores paralelos) e um ponto da segunda parametrização já está na primeira reta.

Passo 6

Exemplos concretos para fixar a intuição (rápidos e simples).
Exemplo 1 (caso usual): em \mathbb{R}^2, tome P_0=(0,0) e \mathbf{v}=(1,1). Então
L(P_0,\mathbf{v})=\{(t,t)\mid t\in\mathbb{R}\},
que é a reta de equação implícita y=x. Se escolher \lambda=2, temos \lambda\mathbf{v}=(2,2) e a parametrização P_0+s(2,2) percorre os mesmos pontos (só que com outro passo de parametrização).
Exemplo 2 (caso degenerado): em \mathbb{R}^2, tome P_0=(1,2) e \mathbf{v}=(0,0). Então L(P_0,\mathbf{0})=\{(1,2)\}, não é uma reta — portanto o vetor diretor não pode ser o vetor nulo se a intenção é determinar uma reta.
Exemplo 3 (comparando duas representações): em \mathbb{R}^2, L((0,0),(1,2)) e L((3,6),(2,4)). Aqui (2,4)=2(1,2) é paralelo a (1,2), e (3,6)-(0,0)=(3,6)=3(1,2) é múltiplo de (1,2). Pelas condições do Passo 5, as duas parametrizações definem a mesma reta.

Passo 7

Interpretação geométrica final e dica prática para provas.
  • Geometricamente, conhecer um ponto e uma direção é exatamente o que se precisa para “montar” uma reta: o ponto fixa a localização, a direção indica para onde ela vai.
  • Cuidados importantes na hora da prova: sempre verificar que o vetor diretor é não-nulo; reconhecer que vetores proporcionais representam a mesma direção; e, ao comparar duas representações, verificar se a diferença dos pontos é paralela ao vetor diretor.

Resposta

Verdadeiro, desde que o vetor diretor seja diferente de \mathbf{0}; caso o vetor diretor seja \mathbf{0} a informação não determina uma reta (determina apenas o ponto).

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