Discuta a veracidade das afirmações abaixo, justificando cada resposta com argumentos algébricos e geométricos.
Em sua resposta, procure explicitar não apenas o que é verdadeiro ou falso, mas por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Conhecer um ponto da reta e um vetor diretor é suficiente para determinar a reta.
Conhecer um ponto da reta e um vetor diretor é suficiente para determinar a reta.
Passo 1
O enunciado fornece uma única afirmação a ser verificada e justificada: “Conhecer um ponto da reta e um vetor diretor é suficiente para determinar a reta.”
O que se pede:
O que se pede:
- Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa;
- Justificar cada resposta com argumentos algébricos e geométricos;
- Explicar por que certas formas algébricas funcionam e outras falham em casos específicos.
Informações úteis que partem da própria afirmação (estas são as hipóteses que vamos usar):
- Há um ponto conhecido da reta, que chamo de
. - Há um vetor chamado “vetor diretor”, que chamo de
(pode ser qualquer vetor, possivelmente o vetor nulo). - O espaço ambiente é o espaço afim usual (por exemplo
ou ). Nada mais foi dado explicitamente.
Passo 2
Definição algébrica padrão de reta a partir de ponto e vetor diretor. Vou explicar e justificar com calma.
Seja
um ponto e
um vetor. A fórmula paramétrica que usualmente se usa é
O que isso significa, peça por peça:
-
é um ponto da reta (pode escrever as coordenadas em ou em ). -
é o vetor diretor; escrevendo em ou em . - A expressão
gera todos os pontos obtidos ao partir de e ir na direção de uma distância proporcional a . Variando por todos os reais, percorre-se uma reta afim (uma “linha” infinita) quando .
Por que essa forma realmente descreve uma reta (argumento algébrico claro): tome quaisquer dois pontos da forma
e
. A diferença entre eles é
ou seja, o vetor que une dois pontos quaisquer dessa coleção é um múltiplo de
. Todos os vetores entre pontos do conjunto são colineares com
, o que caracteriza geometricamente uma reta (ou uma tradução de uma subespaço unidimensional). Portanto, quando
, o conjunto é uma reta unidimensional.
Passo 3
Discussão da unicidade: dado
e
(não nulo), a reta é determinada de forma única? Vou mostrar por que sim, e quais ambiguidades existem na representação.
Ambiguidade óbvia da representação: escala do vetor diretor. Se
, então
porque
e ao variar
em
obtém-se exatamente os mesmos pontos. Geometricamente isso corresponde a dizer que o vetor diretor só define a direção (sentido e magnitude não são essenciais; magnitude pode ser absorvida pelo parâmetro
). Isso não quebra a unicidade da reta; apenas muda a parametrização.
Agora, prova de que não existe outra reta distinta que contenha
e tenha a mesma direção
(quando
). Suponha que exista outra reta
que passa por
e cujo vetor diretor
é paralelo a
; então
para algum
. Para qualquer
temos
logo
. Pelo mesmo raciocínio inverso
. Assim
. Portanto não há duas retas distintas com o mesmo ponto e com direções paralelas: a reta é única.
Passo 4
Casos degenerados: quando a afirmação falha.
O ponto crítico é o vetor diretor nulo. Se
então
Isso não é uma reta no sentido usual (é um conjunto com um único ponto, dimensão zero). Geometricamente, um vetor diretor deve ser não-nulo para indicar uma direção; o vetor zero não fornece direção alguma. Portanto, se a hipótese original não exige
, a afirmação é falsa: conhecer um ponto e o vetor nulo não determina uma reta, determina apenas um ponto.
Resumo do caso degenerado: a condição necessária para que a forma paramétrica defina uma reta é
.
Passo 5
Condição necessária e suficiente para que duas representações paramétricas definam a mesma reta. Isto é útil para entender “por que certas formas algébricas funcionam e outras falham”.
Sejam
e
. Então
se, e somente se, valem simultaneamente:
-
é paralelo a (isto é, para algum ); e -
é um múltiplo de (isto é, ).
Prova (esboço algébrico):
- (Necessidade) Se as duas retas coincidem então
, logo para algum . Além disso, o vetor diretor de deve ser paralelo a qualquer vetor que una dois pontos de ; como esses pontos também pertencem a , segue que é paralelo a . - (Suficiência) Se
e , então qualquer ponto pertence a , logo ; simetricamente obtemos a inclusão oposta, logo igualdade.
Geometricamente: duas parametrizações representam a mesma reta se têm a mesma direção (vetores diretores paralelos) e um ponto da segunda parametrização já está na primeira reta.
Passo 6
Exemplos concretos para fixar a intuição (rápidos e simples).
Exemplo 1 (caso usual): em
, tome
e
. Então
que é a reta de equação implícita
. Se escolher
, temos
e a parametrização
percorre os mesmos pontos (só que com outro passo de parametrização).
Exemplo 2 (caso degenerado): em
, tome
e
. Então
, não é uma reta — portanto o vetor diretor não pode ser o vetor nulo se a intenção é determinar uma reta.
Exemplo 3 (comparando duas representações): em
,
e
. Aqui
é paralelo a
, e
é múltiplo de
. Pelas condições do Passo 5, as duas parametrizações definem a mesma reta.
Passo 7
Interpretação geométrica final e dica prática para provas.
- Geometricamente, conhecer um ponto e uma direção é exatamente o que se precisa para “montar” uma reta: o ponto fixa a localização, a direção indica para onde ela vai.
- Cuidados importantes na hora da prova: sempre verificar que o vetor diretor é não-nulo; reconhecer que vetores proporcionais representam a mesma direção; e, ao comparar duas representações, verificar se a diferença dos pontos é paralela ao vetor diretor.
Resposta
Verdadeiro, desde que o vetor diretor seja diferente de
; caso o vetor diretor seja
a informação não determina uma reta (determina apenas o ponto).