Discute a existência dos limites abaixo:
lim z 1 z-1barz-1.

Passo 1

No primeiro passo, resumimos o enunciado: discutir a existência do limite limzto1z-1barz-1. Isso envolve limites em C e vamos usar a definição de que, se o limite existe, deve ser o mesmo em qualquer caminho de aproximação a z=1.

Passo 2

Fazemos a substituição h=z-1. Assim, quando zto1 temos hto0 e o quociente fica z-1barz-1=hh.
Para estudar hh, escrevemos h em forma polar: h=re^itheta com r>=0 e theta o argumento. Então h=re^-itheta.
Logo,
hh = re^ithetare^-itheta = e^2itheta

Passo 3

Esse resultado mostra que o valor do quociente depende do ângulo theta de aproximação. Por exemplo, se aproximarmos por h real ( theta=0) obtemos 1, e se aproximarmos por h imaginário puro ( theta=tfracpi2) obtemos -1.
Como diferentes caminhos dão valores diferentes, o limite não pode existir de forma única.

Resposta

O limite não existe.

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