Como discutimos em aula, o problema da inversão de matrizes quadradas recai em um sistema de equações lineares. Em cada um dos casos abaixo, obtenha o sistema linear de que estamos falando e decida se a matriz em questão é inversível ou não. Em caso afirmativo, exiba a inversa
a)
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede três coisas: (a) obter o sistema linear associado ao problema de inversão, (b) decidir se
é inversível, e (c) quando for inversível, exibir
.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há figuras nem dados adicionais.]
Passo 2
Explicação clara do que significa “inverter” uma matriz 2×2 e como isso vira um sistema linear.\n
Quando buscamos queremos uma matriz
tal que
Quando buscamos
onde
é a matriz identidade
. Escrevendo
pelas suas colunas,
, a igualdade matricial equivale a dois sistemas lineares (um para cada coluna):
onde
e
.\n
Ou seja, para achar resolvemos dois sistemas
. Vou escrever esses dois sistemas explicitamente no próximo passo e resolvê‑los passo a passo.
Ou seja, para achar
Passo 3
Primeiro verificação rápida de invertibilidade usando o determinante (fórmula para
).\n
Para uma matriz
Para uma matriz
o determinante é
. Se
, a matriz é inversível; se
, não é.\n
Aplicando a :
Aplicando a
Como
, concluímos que
é inversível. (Boa notícia! dá pra continuar e achar a inversa.)
Passo 4
Escrever o primeiro sistema linear para obter a primeira coluna de
Escrevendo as equações:
Agora resolvemos esse sistema de forma direta (substituição é muito simples aqui). Da segunda equação isolamos
é
Passo 5
Escrever o segundo sistema linear para obter a segunda coluna de
As equações são:
Da segunda equação isolamos
é
Passo 6
Montar a matriz inversa juntando as colunas encontradas e fazer uma checagem rápida.\n
As colunas são e
, logo
As colunas são
Como checagem: multiplicando
por
devemos obter a identidade. Vamos calcular rapidamente (linha por coluna):
Confere! A inversa está correta.]
Resposta
A é inversível e