Como discutimos em aula, o problema da inversão de matrizes quadradas recai em um sistema de equações lineares. Em cada um dos casos abaixo, obtenha o sistema linear de que estamos falando e decida se a matriz em questão é inversível ou não. Em caso afirmativo, exiba a inversa
a)
A=\left[\begin{array}{ll}2 & 5 \\\ 1 & 3\end{array}\right] .

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 5 \\[4pt] 1 & 3\end{pmatrix}
e pede três coisas: (a) obter o sistema linear associado ao problema de inversão, (b) decidir se A é inversível, e (c) quando for inversível, exibir A^{-1}.\n
Informações relevantes fornecidas:
\text{entrada } a_{11}=2,\quad a_{12}=5,\quad a_{21}=1,\quad a_{22}=3.
Não há figuras nem dados adicionais.]

Passo 2

Explicação clara do que significa “inverter” uma matriz 2×2 e como isso vira um sistema linear.\n
Quando buscamos A^{-1} queremos uma matriz X tal que
A X = I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Escrevendo X pelas suas colunas, X=\bigl[\;x^{(1)}\; x^{(2)}\;\bigr], a igualdade matricial equivale a dois sistemas lineares (um para cada coluna):
A x^{(1)} = e_1,\qquad A x^{(2)} = e_2,
onde e_1=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix} e e_2=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix}.\n
Ou seja, para achar A^{-1} resolvemos dois sistemas 2\times2. Vou escrever esses dois sistemas explicitamente no próximo passo e resolvê‑los passo a passo.

Passo 3

Primeiro verificação rápida de invertibilidade usando o determinante (fórmula para 2\times2).\n
Para uma matriz
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}
o determinante é \det = ad-bc. Se \det\neq 0, a matriz é inversível; se \det=0, não é.\n
Aplicando a A:
\det(A)=2\cdot 3 - 5\cdot 1 = 6-5 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, concluímos que A é inversível. (Boa notícia! dá pra continuar e achar a inversa.)

Passo 4

Escrever o primeiro sistema linear para obter a primeira coluna de A^{-1}\).\n Queremos \(x^{(1)}=\begin{pmatrix}x_1\\\ x_2\end{pmatrix}\) tal que \[A x^{(1)} = e_1.
Escrevendo as equações:
\begin{cases} 2x_1 + 5x_2 = 1,\\[4pt] 1x_1 + 3x_2 = 0. \end{cases}
Agora resolvemos esse sistema de forma direta (substituição é muito simples aqui). Da segunda equação isolamos x_1\]: \[x_1 = -3x_2.\] Substituindo na primeira: \[2(-3x_2) + 5x_2 = 1.\] Calculando: \[-6x_2 + 5x_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad -x_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -1.\] Então \[x_1 = -3x_2 = -3\cdot(-1)=3.\] Portanto a primeira coluna de \(A^{-1} é
x^{(1)}=\begin{pmatrix}3\\[4pt] -1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Escrever o segundo sistema linear para obter a segunda coluna de A^{-1}\).\n Queremos \(x^{(2)}=\begin{pmatrix}y_1\\\ y_2\end{pmatrix}\) tal que \[A x^{(2)} = e_2.
As equações são:
\begin{cases} 2y_1 + 5y_2 = 0,\\[4pt] 1y_1 + 3y_2 = 1. \end{cases}
Da segunda equação isolamos y_1\]: \[y_1 = 1 - 3y_2.\] Substituindo na primeira: \[2(1-3y_2) + 5y_2 = 0.\] Calculando: \[2 -6y_2 +5y_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2 - y_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad y_2 = 2.\] Então \[y_1 = 1 - 3\cdot 2 = 1 - 6 = -5.\] Portanto a segunda coluna de \(A^{-1} é
x^{(2)}=\begin{pmatrix}-5\\[4pt] 2\end{pmatrix}.]

Passo 6

Montar a matriz inversa juntando as colunas encontradas e fazer uma checagem rápida.\n
As colunas são x^{(1)}=\begin{pmatrix}3\\\ -1\end{pmatrix} e x^{(2)}=\begin{pmatrix}-5\\\ 2\end{pmatrix}, logo
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -5 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
Como checagem: multiplicando A por A^{-1} devemos obter a identidade. Vamos calcular rapidamente (linha por coluna):
A A^{-1}= \begin{pmatrix} 2\cdot 3 + 5\cdot(-1) & 2\cdot(-5) + 5\cdot 2\\[4pt] 1\cdot 3 + 3\cdot(-1) & 1\cdot(-5) + 3\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6-5 & -10+10\\[4pt] 3-3 & -5+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 \end{pmatrix}.
Confere! A inversa está correta.]

Resposta

A é inversível e
A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -5 \\[4pt] -1 & 2\end{pmatrix}]

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