Mostre que as seguintes propriedades são verdadeiras
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.
Informações dadas (assumimos que a questão foi formulada corretamente):
A \text{ e } B
são matrizes de mesma dimensão m\times n (senão não seria possível somá‑las). Denotamos as entradas de A e B por
A=(a_{ij})\quad\text{e}\quad B=(b_{ij}),
onde a_{ij} e b_{ij} são os elementos na linha i e coluna j.

Passo 2

Definição de transposta (aula rápida e prática): para uma matriz A=(a_{ij}) de dimensão m\times n, a transposta A^{t} é a matriz n\times m cujas entradas são obtidas trocando linhas por colunas. Em símbolos:
(A^{t})_{ij}=a_{ji}.
Aqui (A^{t})_{ij} é o elemento de A^{t} na linha i, coluna j; a_{ji} é o elemento de A na linha j, coluna i. Isso vale para qualquer par de índices i,j dentro das dimensões adequadas.

Passo 3

Definição de soma de matrizes (outra mini‑aula): se A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) são duas matrizes m\times n, então a soma A+B é a matriz m\times n cujas entradas são a soma dos elementos correspondentes:
(A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}
para todo i=1,\dots,m e j=1,\dots,n.

Passo 4

Calcule a entrada genérica da transposta da soma. Usando as definições acima, a entrada (i,j) de (A+B)^{t} é, pela definição de transposta,
\big((A+B)^{t}\big)_{ij}=(A+B)_{ji}.
Agora aplicamos a definição da soma para o lado direito:
(A+B)_{ji}=a_{ji}+b_{ji}.
Portanto
\big((A+B)^{t}\big)_{ij}=a_{ji}+b_{ji}.

Passo 5

Calcule a entrada genérica de A^{t}+B^{t}. Pela definição da soma de matrizes e da transposta,
(A^{t}+B^{t})_{ij}=(A^{t})_{ij}+(B^{t})_{ij}.
Mas (A^{t})_{ij}=a_{ji} e (B^{t})_{ij}=b_{ji}, então
(A^{t}+B^{t})_{ij}=a_{ji}+b_{ji}.

Passo 6

Compare as duas expressões obtidas para a entrada (i,j):
\big((A+B)^{t}\big)_{ij}=a_{ji}+b_{ji}=(A^{t}+B^{t})_{ij}.
Isso vale para todo par de índices i,j. Como duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes são iguais, concluímos que
(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}.

Resposta

(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t}

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