Mostre que as seguintes propriedades são verdadeiras
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações dadas (assumimos que a questão foi formulada corretamente):
são matrizes de mesma dimensão
(senão não seria possível somá‑las). Denotamos as entradas de
e
por
onde
e
são os elementos na linha
e coluna
.
Passo 2
Definição de transposta (aula rápida e prática): para uma matriz
de dimensão
, a transposta
é a matriz
cujas entradas são obtidas trocando linhas por colunas. Em símbolos:
Aqui
é o elemento de
na linha
, coluna
;
é o elemento de
na linha
, coluna
. Isso vale para qualquer par de índices
dentro das dimensões adequadas.
Passo 3
Definição de soma de matrizes (outra mini‑aula): se
e
são duas matrizes
, então a soma
é a matriz
cujas entradas são a soma dos elementos correspondentes:
para todo
e
.
Passo 4
Calcule a entrada genérica da transposta da soma. Usando as definições acima, a entrada
de
é, pela definição de transposta,
Agora aplicamos a definição da soma para o lado direito:
Portanto
Passo 5
Calcule a entrada genérica de
. Pela definição da soma de matrizes e da transposta,
Mas
e
, então
Passo 6
Compare as duas expressões obtidas para a entrada
:
Isso vale para todo par de índices
. Como duas matrizes são iguais se, e somente se, todas as entradas correspondentes são iguais, concluímos que