Discutir a continuidade da função.
Passo 1
O enunciado pede para discutir a continuidade da função complexa
. O conteúdo é continuidade de funções de variável complexa, e vamos usar que numerador e denominador são funções contínuas (fora de onde o denominador é zero) e que o quociente de funções contínuas, com denominador não nulo, também é contínuo.
Passo 2
Primeiro identificamos o domínio natural da função. Como
se e somente se
, temos que
Dentro desse domínio, tanto
quanto
são funções contínuas de
.
Passo 3
Sabendo que o quociente de duas funções contínuas é contínuo desde que o denominador não seja zero, concluímos que
é contínua em todo ponto de
com
.
Passo 4
Para analisar a possibilidade de continuidade em
, calculamos o limite quando
. Escrevendo
, temos
Ao fazermos
, o valor de
depende de
. Ou seja, aproximando-se de 0 por direções diferentes (Ângulos
distintos) obtemos limites distintos. Portanto o limite não existe em
.
Resposta
A função é contínua em todo
e não pode ser estendida de forma contínua em
, pois o limite
não existe.