Discutir a continuidade da função.
f(z)=zbarz

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função complexa f(z)=zz. O conteúdo é continuidade de funções de variável complexa, e vamos usar que numerador e denominador são funções contínuas (fora de onde o denominador é zero) e que o quociente de funções contínuas, com denominador não nulo, também é contínuo.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio natural da função. Como z=0 se e somente se z=0, temos que
Dom(f)=zinC:zneq0,
Dentro desse domínio, tanto z quanto z são funções contínuas de z.

Passo 3

Sabendo que o quociente de duas funções contínuas é contínuo desde que o denominador não seja zero, concluímos que f(z)=zz é contínua em todo ponto de C com zneq0.

Passo 4

Para analisar a possibilidade de continuidade em z=0, calculamos o limite quando zto0. Escrevendo z=r,e^itheta, temos
f(z)=re^ithetare^-itheta=e^i2theta,
Ao fazermos rto0, o valor de e^i2theta depende de theta. Ou seja, aproximando-se de 0 por direções diferentes (Ângulos theta distintos) obtemos limites distintos. Portanto o limite não existe em z=0.

Resposta

A função é contínua em todo Csetminus0 e não pode ser estendida de forma contínua em z=0, pois o limite limzto0f(z) não existe.

Exercícios relacionados