Discutir a continuidade das seguintes funções:
g(x, y)=x+y-1x^2 y+x^2-3 x y-3 x+2 y+2

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função
g(x,y)=x+y-1x^2y+x^2-3xy-3x+2y+2
ou seja, identificar onde ela está bem definida e onde deixa de sê-lo, lembrando que funções racionais (quocientes de polinômios) são contínuas em todo ponto em que o denominador não se anula.

Passo 2

Para encontrar onde o denominador se anula, fatoramos
x^2y+x^2-3xy-3x+2y+2
Agrupando termos, note que
x^2y+x^2-3xy-3x+2y+2 =(y+1)(x^2-3x+2) =(y+1)(x-1)(x-2)

Passo 3

Logo o domínio natural de g é
D=(x,y)inR^2mid (y+1)(x-1)(x-2)neq0,
isto é, g não está definida sempre que y=-1 ou x=1 ou x=2.

Passo 4

Como g é quociente de polinômios, ela é contínua em todo ponto de D. Nos pontos em que o denominador se anula, g não está nem definida, portanto não é contínua ali.

Passo 5

Para verificar se há algum ponto de anulacão simultânea de numerador e denominador (que poderia gerar descontinuidade removível), investigamos
x+y-1=0 juntamente com (y+1)(x-1)(x-2)=0
Essas equações se cruzam apenas em (1,0) e (2,-1), mas nessas coordenadas não há cancelamento de fator comum no quociente (o numerador não contém exatamente (x-1), nem (x-2) nem (y+1) como fator global). Portanto, não há buracos removíveis nem extensão contínua nesses pontos.

Resposta

A função g é contínua em todos os (x,y) tais que
(y+1)(x-1)(x-2)neq0,
isto é, em R^2setminusl(y=-1cupx=1cupx=2r), e não é contínua (nem definida) nas retas y=-1, x=1 e x=2.

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