Discutir a continuidade das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para discutir a continuidade da função
ou seja, identificar onde ela está bem definida e onde deixa de sê-lo, lembrando que funções racionais (quocientes de polinômios) são contínuas em todo ponto em que o denominador não se anula.
Passo 2
Para encontrar onde o denominador se anula, fatoramos
Agrupando termos, note que
Passo 3
Logo o domínio natural de
é
isto é,
não está definida sempre que
ou
ou
.
Passo 4
Como
é quociente de polinômios, ela é contínua em todo ponto de
. Nos pontos em que o denominador se anula,
não está nem definida, portanto não é contínua ali.
Passo 5
Para verificar se há algum ponto de anulacão simultânea de numerador e denominador (que poderia gerar descontinuidade removível), investigamos
Essas equações se cruzam apenas em
e
, mas nessas coordenadas não há cancelamento de fator comum no quociente (o numerador não contém exatamente
, nem
nem
como fator global). Portanto, não há buracos removíveis nem extensão contínua nesses pontos.
Resposta
A função
é contínua em todos os
tais que
isto é, em
, e não é contínua (nem definida) nas retas
,
e
.