Discutir a continuidade das seguintes funções:
f(x, y)=2 x^2 y^2+5 x y-2

Passo 1

O enunciado pede para discutir a continuidade da função
f(x,y) = 2x^2y^2 + 5xy - 2
no plano R^2. Vamos usar o fato de que somas e produtos de funções contínuas são contínuos, e que funções polinomiais são contínuas em todo domínio.

Passo 2

Observe que as projeções coordenadas
pi1(x,y)=x e pi2(x,y)=y
são contínuas em R^2. Além disso, a função constante (x,y)mapsto -2 também é contínua.

Passo 3

Pela propriedade de que produto e soma de funções contínuas permanecem contínuos, temos:
pi1^2(x,y)=x^2 é contínua (produto de pi1 por si mesma).
pi2^2(x,y)=y^2 é contínua.
– A função (x,y)mapsto 2x^2y^2 é contínua (produto da constante 2 por x^2y^2).
– A função (x,y)mapsto 5xy é contínua (produto da constante 5 por pi1pi2).

Passo 4

Somando essas partes:
(x,y)mapsto 2x^2y^2
(x,y)mapsto 5xy
(x,y)mapsto -2
todas contínuas, concluímos que
f(x,y) = 2x^2y^2 + 5xy - 2
é contínua em R^2.

Resposta

A função f(x,y)=2x^2y^2+5xy-2 é contínua em todo ponto de R^2.

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