Questão 6 (1 ponto). Mostre que a equação
define implicitamente pelo menos uma função diferenciável
. Expresse
em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para mostrar que ela define implicitamente, em pelo menos um ponto, uma função diferenciável
, usando o Teorema da Função Implícita, e depois expressar
em termos de
.
Passo 2
Defina a função
Para aplicar o Teorema da Função Implícita, precisamos de um ponto
tal que
-
, -
.
Escolhae . Então definimos
Observamos que
logo por Bolzano existe
tal que
, i.e.\
.
Além disso
Além disso
portanto não é zero. Pelo Teorema da Função Implícita existe então uma função diferenciável
num entorno de
satisfazendo
.
Passo 3
Para achar
diferenciamos implicitamente
em relação a
, tratando
como constante:
Calculemos as derivadas parciais:
Isolando
temos