Questão 6 (1 ponto). Mostre que a equação
x y z+x^3+y^3+z^3=5
define implicitamente pelo menos uma função diferenciável z=z(x, y). Expresse d zd x em termos de x, y e z.

Passo 1

O enunciado dá a equação
x,y,z + x^3 + y^3 + z^3 = 5
e pede para mostrar que ela define implicitamente, em pelo menos um ponto, uma função diferenciável z=z(x,y), usando o Teorema da Função Implícita, e depois expressar tfracd zd x em termos de x,y,z.

Passo 2

Defina a função
F(x,y,z) = x,y,z + x^3 + y^3 + z^3 - 5
Para aplicar o Teorema da Função Implícita, precisamos de um ponto (x0,y0,z0) tal que
  1. F(x0,y0,z0)=0,
  2. partial Fpartial z(x0,y0,z0)neq 0.
    Escolha x0=1 e y0=1. Então definimos
h(z)=F(1,1,z)=z^3+z+1+1-5 = z^3+z-3
Observamos que
h(1)=1+1-3=-1, h(2)=8+2-3=7,
logo por Bolzano existe z0in(1,2) tal que h(z0)=0, i.e.\ F(1,1,z0)=0.
Além disso
partial Fpartial z(1,1,z0) =1cdot1 + 3,z0^2 =1 +3,z0^2>0,
portanto não é zero. Pelo Teorema da Função Implícita existe então uma função diferenciável z=z(x,y) num entorno de (1,1) satisfazendo F(x,y,z(x,y))=0.

Passo 3

Para achar tfracd zd x diferenciamos implicitamente F(x,y,z(x,y))=0 em relação a x, tratando y como constante:
partial Fpartial x + partial Fpartial z,d zd x = 0
Calculemos as derivadas parciais:
partial Fpartial x = y,z + 3,x^2, partial Fpartial z = x,y + 3,z^2
Isolando tfracd zd x temos
d zd x = -,partial Fpartial xpartial Fpartial z = -,y,z + 3,x^2x,y + 3,z^2

Resposta

d zd x ;=; -,y,z + 3,x^2x,y + 3,z^2

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