Discutir sobre a convergência ou divergência da sequência cujo termo geral é
x_{n}=n \cdot \alpha^{n}, n \in \mathbb{N},

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral
x_{n}=n\cdot\alpha^{n},\qquad n\in\mathbb{N},
e pede que a gente discuta se essa sequência converge ou diverge quando n\to\infty. As informações relevantes que temos são:
  • \alpha é um número fixo (assumimos \alpha\in\mathbb{R}).
  • O índice n vai para o infinito: n\to\infty.
  • Precisamos decidir, para os diferentes valores possíveis de \alpha, se \{x_n\} tem limite finito (converge) ou não (diverge).
    Não começamos a resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.

Passo 2

Vamos primeiro explicar um fato chave que vamos usar: exponenciais em base fixa crescem/decrescem muito mais rápido que polinômios. Em termos práticos, para um número real a com |a|<1 a potência |a|^{n} tende a 0 muito rápido, e multiplicar por um fator polinomial (aqui n) normalmente não impede que o produto tenda a 0. Para tornar isso rigoroso usamos a raiz n-ésima:
\bigl(n\,|a|^{n}\bigr)^{1/n}=n^{1/n}\,|a|.
Explico cada termo: n^{1/n} é a raiz n-ésima de n e |a| é o valor absoluto da base da exponencial. Saber o comportamento de n^{1/n} é importante.

Passo 3

Prova do limite auxiliar \displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1, porque vamos usar isso depois.
  • Tome logaritmo: \ln\bigl(n^{1/n}\bigr)=\dfrac{\ln n}{n}.
  • Conhecemos o fato (mostro rapidamente) que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln n}{n}=0. Uma maneira intuitiva: \ln n cresce muito mais devagar que n; formalmente pode-se usar L’Hôpital passando para variável contínua x e ver \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0.
  • Então \ln\bigl(n^{1/n}\bigr)\to 0, logo n^{1/n}=\exp\bigl(\ln(n^{1/n})\bigr)\to e^{0}=1.
    Portanto
\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1.

Passo 4

Caso |\alpha|<1. Demonstro que então x_n=n\alpha^n\to 0.
  • Usei no Passo 2 a igualdade \bigl(n\,|\alpha|^{n}\bigr)^{1/n}=n^{1/n}|\alpha|.
  • Pelo Passo 3 temos n^{1/n}\to 1. Então
\lim_{n\to\infty}\bigl(n\,|\alpha|^{n}\bigr)^{1/n}=|\alpha|.
  • Como |\alpha|<1, existe um número r com |\alpha|<r<1. Pela convergência acima, para n suficientemente grande teremos \bigl(n\,|\alpha|^{n}\bigr)^{1/n}<r. Elevando à potência n obtemos n\,|\alpha|^{n}<r^{n}.
  • Como 0<r<1 sabemos que r^{n}\to 0 quando n\to\infty. Pelo encadeamento de desigualdades segue que n\,|\alpha|^{n}\to 0.
  • Portanto x_n=n\alpha^n\to 0 quando |\alpha|<1. Em palavras: a parte exponencial domina e manda o produto para 0.
Para fixar a intuição: se \alpha=\tfrac{1}{2}, então x_n=n\,(1/2)^n decai rapidamente para 0 apesar do fator n.

Passo 5

Caso |\alpha|>1. Mostro que |x_n|\to\infty, logo x_n diverge (não tem limite finito).
  • Se |\alpha|>1 então escreva |\alpha|=1+\varepsilon com \varepsilon>0. Então |\alpha|^{n} cresce exponencialmente: |\alpha|^{n}\to\infty.
  • Como |x_n|=n\,|\alpha|^{n} e a multiplicação por n só aumenta o crescimento, segue que |x_n|\to\infty.
  • Conclusões por subcasos:
    • Se \alpha>1 então x_n\to+\infty.
    • Se \alpha<-1 então |x_n|\to\infty mas os sinais alternam (porque \alpha^{n} alterna de sinal), logo x_n não tem limite (nem \pm\infty fixo), diverge oscilando em magnitude crescente.
      Assim, para qualquer |\alpha|>1 a sequência diverge.

Passo 6

Casos-limite |\alpha|=1. Tratamos \alpha=1, \alpha=-1 e \alpha=0 separadamente.
  • Se \alpha=1 então x_n=n\cdot 1^{n}=n. Claramente x_n\to+\infty, diverge.
  • Se \alpha=-1 então x_n=n(-1)^{n}. O módulo |x_n|=n\to\infty e os sinais alternam, logo não existe limite finito; a sequência diverge (não converge nem para \pm\infty de forma consistente).
  • Se \alpha=0 então, para todo n\ge 1, x_n=n\cdot 0^{n}=0. Portanto a sequência é identicamente 0 e converge para 0.

Passo 7

Resumo didático final (classificação completa):
  • Para |\alpha|<1: \displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0 (converge).
  • Para |\alpha|>1: |x_n|\to\infty (diverge); se \alpha>1 então x_n\to+\infty, se \alpha<-1 então diverge oscilando com módulo divergente.
  • Para \alpha=1: x_n=n\to+\infty (diverge).
  • Para \alpha=-1: x_n=n(-1)^{n} diverge (oscilação com módulo crescente).
  • Para \alpha=0: x_n=0 para todo n, portanto converge para 0.

Resposta

Se |\alpha|<1, \lim_{n\to\infty}x_n=0.
Se |\alpha|>1, \{x_n\} diverge (se \alpha>1 então x_n\to+\infty; se \alpha<-1 diverge oscilando com |x_n|\to\infty).
Se \alpha=1, x_n=n\to+\infty (diverge).
Se \alpha=-1, x_n=n(-1)^{n} diverge.
Se \alpha=0, x_n=0 para todo n (converge para 0).

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