Discutir sobre a convergência ou divergência da sequência cujo termo geral é
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termo geral
e pede que a gente discuta se essa sequência converge ou diverge quando
. As informações relevantes que temos são:
-
é um número fixo (assumimos ). - O índice
vai para o infinito: . - Precisamos decidir, para os diferentes valores possíveis de
, se tem limite finito (converge) ou não (diverge).
Não começamos a resolver ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados disponíveis.
Passo 2
Vamos primeiro explicar um fato chave que vamos usar: exponenciais em base fixa crescem/decrescem muito mais rápido que polinômios. Em termos práticos, para um número real
com
a potência
tende a
muito rápido, e multiplicar por um fator polinomial (aqui
) normalmente não impede que o produto tenda a
. Para tornar isso rigoroso usamos a raiz
-ésima:
Explico cada termo:
é a raiz
-ésima de
e
é o valor absoluto da base da exponencial. Saber o comportamento de
é importante.
Passo 3
Prova do limite auxiliar
, porque vamos usar isso depois.
- Tome logaritmo:
. - Conhecemos o fato (mostro rapidamente) que
. Uma maneira intuitiva: cresce muito mais devagar que ; formalmente pode-se usar L’Hôpital passando para variável contínua e ver . - Então
, logo .
Portanto
Passo 4
Caso
. Demonstro que então
.
- Usei no Passo 2 a igualdade
. - Pelo Passo 3 temos
. Então
- Como
, existe um número com . Pela convergência acima, para suficientemente grande teremos . Elevando à potência obtemos . - Como
sabemos que quando . Pelo encadeamento de desigualdades segue que . - Portanto
quando . Em palavras: a parte exponencial domina e manda o produto para .
Para fixar a intuição: se
, então
decai rapidamente para
apesar do fator
.
Passo 5
Caso
. Mostro que
, logo
diverge (não tem limite finito).
- Se
então escreva com . Então cresce exponencialmente: . - Como
e a multiplicação por só aumenta o crescimento, segue que . - Conclusões por subcasos:
- Se
então . - Se
então mas os sinais alternam (porque alterna de sinal), logo não tem limite (nem fixo), diverge oscilando em magnitude crescente.
Assim, para qualquera sequência diverge.
- Se
Passo 6
Casos-limite
. Tratamos
,
e
separadamente.
- Se
então . Claramente , diverge. - Se
então . O módulo e os sinais alternam, logo não existe limite finito; a sequência diverge (não converge nem para de forma consistente). - Se
então, para todo , . Portanto a sequência é identicamente e converge para .
Passo 7
Resumo didático final (classificação completa):
- Para
: (converge). - Para
: (diverge); se então , se então diverge oscilando com módulo divergente. - Para
: (diverge). - Para
: diverge (oscilação com módulo crescente). - Para
: para todo , portanto converge para .
Resposta
Se
,
.
Se ,
diverge (se
então
; se
diverge oscilando com
).
Se ,
(diverge).
Se ,
diverge.
Se ,
para todo
(converge para
).
Se
Se
Se
Se