Mostre que se a_{n}=\left(5^{n}+6^{n}\right)^{1 / n} então \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=6.

Passo 1

O enunciado define a sequência \{a_n\} pela fórmula
a_n=\left(5^{n}+6^{n}\right)^{1/n},
e pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty} a_n = 6.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Temos a_n expressa em função de n por \left(5^{n}+6^{n}\right)^{1/n}.
  • O objetivo é provar que, quando n cresce sem limite, a_n se aproxima do número 6.

Passo 2

Primeiro observação simples (limite inferior): como 5^{n}>0 e 6^{n}>0 para todo n, temos
5^{n}+6^{n} > 6^{n}.
Aplicando a raiz enésima (função monotona crescente para positivos) obtém-se
a_n=\left(5^{n}+6^{n}\right)^{1/n} > \left(6^{n}\right)^{1/n}=6.
Portanto, para todo n,
\label{ineq1} 6 \le a_n.
Aqui usei que se x>y>0 então x^{1/n}>y^{1/n}; isso é porque a função t\mapsto t^{1/n} é crescente quando t>0.

Passo 3

Agora uma desigualdade superior: note que 5^{n}+6^{n}\le 6^{n}+6^{n}=2\cdot6^{n}. Então
a_n=\left(5^{n}+6^{n}\right)^{1/n} \le \left(2\cdot6^{n}\right)^{1/n}.
Podemos separar a potência:
\left(2\cdot6^{n}\right)^{1/n}=6\cdot 2^{1/n}.
Logo para todo n vale
\label{ineq2} a_n \le 6\cdot 2^{1/n}.

Passo 4

Combinando ([ineq1]) e ([ineq2]) obtemos uma dupla desigualdade válida para todo n:
6 \le a_n \le 6\cdot 2^{1/n}.
Para aplicar o teorema do confronto (squeeze), falta mostrar que o limite da expressão do lado direito é 6, ou seja, que 2^{1/n}\to 1 quando n\to\infty.

Passo 5

Mostrando que 2^{1/n}\to 1. Tome logaritmo natural (é uma operação contínua e monotona):
\ln\bigl(2^{1/n}\bigr)=\frac{1}{n}\ln 2.
Como \ln 2 é constante, \dfrac{1}{n}\ln 2 \to 0 quando n\to\infty. Pela continuidade da exponencial,
2^{1/n}=e^{\frac{1}{n}\ln 2}\longrightarrow e^{0}=1.
Portanto 6\cdot 2^{1/n}\to 6\cdot 1=6.

Passo 6

Aplicando o teorema do confronto (squeeze): temos para todo n
6 \le a_n \le 6\cdot 2^{1/n},
com o lado esquerdo constante igual a 6 e o lado direito convergindo para 6. Logo a sequência \{a_n\} também converge para 6. Em palavras: a_n fica sempre entre dois números que tendem para o mesmo limite 6, então a_n tem de tender para 6.

Resposta

6

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