Mostre que se
então
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
pela fórmula
e pede para mostrar que
Informações dadas e o que é pedido:
- Temos
expressa em função de por . - O objetivo é provar que, quando
cresce sem limite, se aproxima do número .
Passo 2
Primeiro observação simples (limite inferior): como
e
para todo
, temos
Aplicando a raiz enésima (função monotona crescente para positivos) obtém-se
Portanto, para todo
,
Aqui usei que se
então
; isso é porque a função
é crescente quando
.
Passo 3
Agora uma desigualdade superior: note que
. Então
Podemos separar a potência:
Logo para todo
vale
Passo 4
Passo 5
Mostrando que
. Tome logaritmo natural (é uma operação contínua e monotona):
Como
é constante,
quando
. Pela continuidade da exponencial,
Portanto
.
Passo 6
Aplicando o teorema do confronto (squeeze): temos para todo
com o lado esquerdo constante igual a
e o lado direito convergindo para
. Logo a sequência
também converge para
. Em palavras:
fica sempre entre dois números que tendem para o mesmo limite
, então
tem de tender para
.