Associe (F) às afirmações falsas ou (V) às afirmações verdadeiras. Procure justificar as afirmações falsas com um contraexemplo.
a) Toda sequência convergente é limitada.
b) Toda sequência limitada é convergente.
c) Toda sequência limitada é monótona.
d) Toda sequência monótona é convergente.
e) A soma de duas sequências divergentes é divergente.
f) Toda sequência divergente é não monótona.
g) Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero.
h) Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge.
i) Uma sequência alternada é necessariamente divergente.
j) Toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero.
k) Se uma sequência (
) diverge, então (
) também diverge.
- Se
então (
) é convergente.
m) Se a sequência (
) converge para zero, então (
) também converge para zero.
n) Se
crescente e (
) convergente, então (
) converge.
o) Se (
) é convergente, então (
) também converge.
p) A sequência (
) dada por
e
é convergente.
q) Se
, então (
) é divergente.
r) Se (
) é decrescente e
, então (
) converge.
a) Toda sequência convergente é limitada.
b) Toda sequência limitada é convergente.
c) Toda sequência limitada é monótona.
d) Toda sequência monótona é convergente.
e) A soma de duas sequências divergentes é divergente.
f) Toda sequência divergente é não monótona.
g) Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero.
h) Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge.
i) Uma sequência alternada é necessariamente divergente.
j) Toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero.
k) Se uma sequência (
m) Se a sequência (
n) Se
o) Se (
p) A sequência (
q) Se
r) Se (
Passo 1
O enunciado pede que eu associe (F) às afirmações falsas e (V) às verdadeiras entre as letras de
até
. Tenho que justificar cada resposta; quando uma afirmação for falsa, devo dar um contraexemplo. As informações relevantes são as próprias afirmações listadas (a)–® — cada uma trata de propriedades de sequências reais: convergência, limite, monotonicidade, boundedness, subsequências, somas, módulo etc. A resolução começará a partir do Passo 2.
Passo 2
Antes de analisar cada afirmação, vamos revisar definições e teoremas que usarei repetidamente (explicação didática e simples):
- Definição de convergência: Dizemos que a sequência
converge para (escrevemos ) se, para todo , existe tal que para todo . Intuição: os termos ficam arbitrariamente próximos de a partir de algum índice. - Bounded (limitada):
é limitada se existe tal que para todo . - Monótona:
é crescente se para todo ; decrescente se para todo . - Subsequência: é uma sequência retirada pelos termos
com . Uma subsequência de uma sequência convergente converge para o mesmo limite. - Teorema útil (sequência convergente é limitada): se
, então é limitada — prova clássica usando e finitude dos termos iniciais. - Teorema do monotone convergence: toda sequência monótona e limitada converge (se crescente e limitada superiormente converge para seu ínfimo superior; se decrescente e limitada inferiormente converge para seu ínfimo).
- Observação que usarei várias vezes: se uma sequência converge para
, então qualquer subsequência também converge para . E se duas subsequências têm limites diferentes, então a sequência não converge.
Passo 3
Afirmação: “Toda sequência convergente é limitada.”
Justificativa e prova didática: Se , escolho
. Então existe
tal que
para todo
. Isso implica
para todo
. Os termos
são finitos em número, então todos têm um máximo absoluto
. Tomando
temos
para todo
. Logo
é limitada.
Conclusão: a) é verdadeira.
Justificativa e prova didática: Se
Conclusão: a) é verdadeira.
Passo 4
Afirmação: “Toda sequência limitada é convergente.”
Contraponto e contraexemplo: Isso não é verdade. Um contraexemplo simples é com
. Temos
para todo
, logo é limitada. Mas não converge porque os termos oscilam entre
e
; não existe
tal que os termos fiquem arbitrariamente perto de
. Portanto a afirmação é falsa.
Contraponto e contraexemplo: Isso não é verdade. Um contraexemplo simples é
Passo 5
Afirmação: “Toda sequência limitada é monótona.”
Contraponto e contraexemplo: Também falsa. A propriedade de ser limitada não impõe ordem entre termos. Contraexemplo: novamente é limitada mas não é monótona (não é nem crescente nem decrescente). Outro exemplo simples:
já quebra monotonicidade. Portanto a afirmação é falsa.
Contraponto e contraexemplo: Também falsa. A propriedade de ser limitada não impõe ordem entre termos. Contraexemplo: novamente
Passo 6
Afirmação: “Toda sequência monótona é convergente.”
Análise e contraexemplo: Erra por omissão: monótona + limitada implica convergente (teorema do monotone convergence), mas monótona sem limite superior/inferior pode divergir para . Exemplo:
é monótona crescente, mas
, ou seja, não converge no sentido usual em
. Logo a afirmação tal como dada é falsa.
Análise e contraexemplo: Erra por omissão: monótona + limitada implica convergente (teorema do monotone convergence), mas monótona sem limite superior/inferior pode divergir para
Passo 7
Afirmação: “A soma de duas sequências divergentes é divergente.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Duas sequências divergentes podem “cancelar” uma à outra. Exemplo simples: seja e
. Ambas divergem (uma tende a
, outra a
), mas
para todo
, que é convergente. Outro exemplo:
e
; ambas divergentes, soma
. Portanto a afirmação é falsa.
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Duas sequências divergentes podem “cancelar” uma à outra. Exemplo simples: seja
Passo 8
Afirmação: “Toda sequência divergente é não monótona.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Há sequências que são monótonas e, ainda assim, divergem (por serem não-limitadas). Exemplo: é monótona crescente e diverge para
. Logo é falso dizer que toda sequência divergente não pode ser monótona.
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Há sequências que são monótonas e, ainda assim, divergem (por serem não-limitadas). Exemplo:
Passo 9
Afirmação: “Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero.”
Prova didática: Seja que converge para
, e suponha que existe uma subsequência
formada por termos nulos, ou seja
para infinitos
. Então
. Como toda subsequência de uma sequência convergente converge para o mesmo limite
, temos
. Portanto a afirmação é verdadeira.
Prova didática: Seja
Passo 10
Afirmação: “Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Ter uma subsequência convergente não garante a convergência da sequência completa. Exemplo clássico: . A subsequência dos índices pares
converge para
; a subsequência dos ímpares
converge para
. Apesar de existir subsequência convergente (várias, aliás), a sequência inteira não converge. Portanto a afirmação é falsa.
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Ter uma subsequência convergente não garante a convergência da sequência completa. Exemplo clássico:
Passo 11
Afirmação: “Uma sequência alternada é necessariamente divergente.”
Interpretação e contraexemplo: “Alternada” normalmente significa algo como sinais alternados (por exemplo termos com fator ). Não é verdade que toda sequência alternada diverge. Exemplo:
é alternada, mas
. Então uma sequência alternada pode convergir (quando os módulos vão a zero). Logo a afirmação é falsa.
Interpretação e contraexemplo: “Alternada” normalmente significa algo como sinais alternados (por exemplo termos com fator
Passo 12
Afirmação: “Toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero.”
Avaliação: A primeira parte está correta: se uma sequência é decrescente e limitada inferiormente, então converge (teorema do monotone convergence). Porém a afirmação completa diz também que o limite é zero — isso nem sempre ocorre. Contraexemplo para a segunda parte: . Essa sequência é decrescente, limitada inferiormente por
, e converge para
, não para
. Assim a afirmação global (como enunciada) é falsa porque exige que o limite seja zero. Portanto a) parte “converge” é verdadeira mas a conclusão “limite é zero” é falsa; no enunciado conjunto é falso.
Avaliação: A primeira parte está correta: se uma sequência é decrescente e limitada inferiormente, então converge (teorema do monotone convergence). Porém a afirmação completa diz também que o limite é zero — isso nem sempre ocorre. Contraexemplo para a segunda parte:
Passo 13
Afirmação: “Se uma sequência
diverge, então
também diverge.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Exemplo simples: diverge, mas
para todo
, que converge. Assim não é verdade em geral que divergência seja preservada ao aplicar módulo.
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Exemplo simples:
Passo 14
Afirmação: “Se
então
é convergente.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Que as diferenças tendam a zero significa que termos consecutivos ficam cada vez mais próximos, mas isso não garante um limite global. Contraexemplo clássico: as somas parciais da série harmônica. Defina . Então
, mas
(diverge). Logo a hipótese não implica convergência. Outro exemplo mais simples:
tem
, porém
.
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Que as diferenças tendam a zero significa que termos consecutivos ficam cada vez mais próximos, mas isso não garante um limite global. Contraexemplo clássico: as somas parciais da série harmônica. Defina
Passo 15
Afirmação: “Se a sequência
converge para zero, então
também converge para zero.”
Prova didática: Se , então por definição para todo
existe
tal que
para todo
. Mas
, o que mostra exatamente que
. Portanto a afirmação é verdadeira e a prova é direta pela definição de limite (o valor absoluto mede a distância ao zero).
Prova didática: Se
Passo 16
Afirmação: “Se
crescente e
convergente, então
converge.”
Análise e prova: Como converge, por Passo 3 é limitada; logo existe
com
para todo
. Da desigualdade
segue
para todo
, ou seja,
está limitada superiormente. Como
é crescente, ela é monotona crescente e limitada superiormente; pelo teorema do monotone convergence,
converge (para o supremo dos seus termos). Assim a afirmação é verdadeira.
Análise e prova: Como
Passo 17
Afirmação: “Se
é convergente, então
também converge.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa em geral. Se , então os subíndices pares de
tendem a
(mesmo sinal se par), e os ímpares tendem a
. Para que a sequência inteira
tenha limite único, é necessário que
, ou seja
. Portanto só é garantida a convergência de
se
. Contraexemplo: tome
para todo
; então
mas
não converge. Logo a afirmação geral é falsa.
Contraponto e contraexemplo: Falsa em geral. Se
Passo 18
Afirmação: “A sequência
dada por
e
é convergente.”
Análise e cálculo da sequência: Vamos escrever os primeiros termos:
Análise e cálculo da sequência: Vamos escrever os primeiros termos:
Portanto a sequência é
, ou seja
para
ímpar e
para
par. Há duas subsequências constantes com limites distintos (
e
), então a sequência completa não converge. Conclusão: a afirmação é falsa.
Passo 19
Afirmação: “Se
, então
é divergente.”
Prova didática: Suponha, por contradição, que converge para algum
. Então, pela definição,
tenderia para
(porque
e
implica
). Mas a hipótese impõe
para todo
, ou seja, não tende a
. Contradição. Logo
não pode convergir; isto é, é divergente. Portanto a afirmação é verdadeira.
Prova didática: Suponha, por contradição, que
Passo 20
Afirmação: “Se
é decrescente e
, então
converge.”
Análise e prova: Como é decrescente, temos
. A condição
para
implica que
; pela monotonicidade, todos os termos anteriores satisfazem
. Assim todos os termos da sequência são maiores ou iguais a
e, em particular, a sequência é limitada inferiormente por
(ou por
). Então temos uma sequência monotona decrescente e limitada inferiormente, o que garante convergência (teorema do monotone convergence). Observação: a existência de finitos termos iniciais fora dessa condição não afeta a convergência (um número finito de termos iniciais não muda o limite). Portanto a afirmação é verdadeira.
Análise e prova: Como
Resposta
a) V
b) F
c) F
d) F
e) F
f) F
g) V
h) F
i) F
j) F
k) F
l) F
m) V
n) V
o) F
p) F
q) V
r) V
b) F
c) F
d) F
e) F
f) F
g) V
h) F
i) F
j) F
k) F
l) F
m) V
n) V
o) F
p) F
q) V
r) V