Associe (F) às afirmações falsas ou (V) às afirmações verdadeiras. Procure justificar as afirmações falsas com um contraexemplo.
a) Toda sequência convergente é limitada.
b) Toda sequência limitada é convergente.
c) Toda sequência limitada é monótona.
d) Toda sequência monótona é convergente.
e) A soma de duas sequências divergentes é divergente.
f) Toda sequência divergente é não monótona.
g) Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero.
h) Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge.
i) Uma sequência alternada é necessariamente divergente.
j) Toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero.
k) Se uma sequência ( a_{n} ) diverge, então ( \left|a_{n}\right| ) também diverge.
  1. Se \left|a_{n+1}-a_{n}\right| \rightarrow 0 então ( a_{n} ) é convergente.
    m) Se a sequência ( \left|a_{n}\right| ) converge para zero, então ( a_{n} ) também converge para zero.
    n) Se a_{n} \leq b_{n}, \forall n \in \mathbb{N},\left(a_{n}\right) crescente e ( b_{n} ) convergente, então ( a_{n} ) converge.
    o) Se ( a_{n} ) é convergente, então ( (-1)^{n} \cdot a_{n} ) também converge.
    p) A sequência ( a_{n} ) dada por a_{1}=1 e a_{n+1}=1-a_{n} é convergente.
    q) Se \left|a_{n+1}-a_{n}\right|=1, \forall n \in \mathbb{N}, então ( a_{n} ) é divergente.
    r) Se ( a_{n} ) é decrescente e a_{n}>0, \forall n \geq 15, então ( a_{n} ) converge.

Passo 1

O enunciado pede que eu associe (F) às afirmações falsas e (V) às verdadeiras entre as letras de a até r. Tenho que justificar cada resposta; quando uma afirmação for falsa, devo dar um contraexemplo. As informações relevantes são as próprias afirmações listadas (a)–® — cada uma trata de propriedades de sequências reais: convergência, limite, monotonicidade, boundedness, subsequências, somas, módulo etc. A resolução começará a partir do Passo 2.

Passo 2

Antes de analisar cada afirmação, vamos revisar definições e teoremas que usarei repetidamente (explicação didática e simples):
  • Definição de convergência: Dizemos que a sequência (a_n) converge para L (escrevemos \lim_{n\to\infty} a_n = L) se, para todo \varepsilon>0, existe N tal que |a_n-L|<\varepsilon para todo n\ge N. Intuição: os termos ficam arbitrariamente próximos de L a partir de algum índice.
  • Bounded (limitada): (a_n) é limitada se existe M>0 tal que |a_n|\le M para todo n.
  • Monótona: (a_n) é crescente se a_{n+1}\ge a_n para todo n; decrescente se a_{n+1}\le a_n para todo n.
  • Subsequência: é uma sequência retirada pelos termos a_{n_k} com n_1<n_2<\cdots. Uma subsequência de uma sequência convergente converge para o mesmo limite.
  • Teorema útil (sequência convergente é limitada): se \lim a_n = L, então (a_n) é limitada — prova clássica usando \varepsilon=1 e finitude dos termos iniciais.
  • Teorema do monotone convergence: toda sequência monótona e limitada converge (se crescente e limitada superiormente converge para seu ínfimo superior; se decrescente e limitada inferiormente converge para seu ínfimo).
  • Observação que usarei várias vezes: se uma sequência converge para L, então qualquer subsequência também converge para L. E se duas subsequências têm limites diferentes, então a sequência não converge.

Passo 3

Afirmação: “Toda sequência convergente é limitada.”
Justificativa e prova didática: Se \lim_{n\to\infty} a_n = L, escolho \varepsilon=1. Então existe N tal que |a_n-L|<1 para todo n\ge N. Isso implica |a_n|\le |L|+1 para todo n\ge N. Os termos a_1,\dots,a_{N-1} são finitos em número, então todos têm um máximo absoluto M_0. Tomando M=\max\{M_0,|L|+1\} temos |a_n|\le M para todo n. Logo (a_n) é limitada.
Conclusão: a) é verdadeira.

Passo 4

Afirmação: “Toda sequência limitada é convergente.”
Contraponto e contraexemplo: Isso não é verdade. Um contraexemplo simples é (a_n) com a_n = (-1)^n. Temos |a_n|\le 1 para todo n, logo é limitada. Mas não converge porque os termos oscilam entre 1 e -1; não existe L tal que os termos fiquem arbitrariamente perto de L. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 5

Afirmação: “Toda sequência limitada é monótona.”
Contraponto e contraexemplo: Também falsa. A propriedade de ser limitada não impõe ordem entre termos. Contraexemplo: novamente a_n = (-1)^n é limitada mas não é monótona (não é nem crescente nem decrescente). Outro exemplo simples: a_1=0,a_2=2,a_3=1,a_4=2,\dots já quebra monotonicidade. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 6

Afirmação: “Toda sequência monótona é convergente.”
Análise e contraexemplo: Erra por omissão: monótona + limitada implica convergente (teorema do monotone convergence), mas monótona sem limite superior/inferior pode divergir para \pm\infty. Exemplo: a_n = n é monótona crescente, mas \lim_{n\to\infty} a_n = +\infty, ou seja, não converge no sentido usual em \mathbb{R}. Logo a afirmação tal como dada é falsa.

Passo 7

Afirmação: “A soma de duas sequências divergentes é divergente.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Duas sequências divergentes podem “cancelar” uma à outra. Exemplo simples: seja a_n = n e b_n = -n. Ambas divergem (uma tende a +\infty, outra a -\infty), mas a_n+b_n = 0 para todo n, que é convergente. Outro exemplo: a_n = (-1)^n e b_n = (-1)^{n+1}; ambas divergentes, soma a_n+b_n=0. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 8

Afirmação: “Toda sequência divergente é não monótona.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Há sequências que são monótonas e, ainda assim, divergem (por serem não-limitadas). Exemplo: a_n = n é monótona crescente e diverge para +\infty. Logo é falso dizer que toda sequência divergente não pode ser monótona.

Passo 9

Afirmação: “Se uma sequência convergente possui uma infinidade de termos nulos, seu limite é zero.”
Prova didática: Seja (a_n) que converge para L, e suponha que existe uma subsequência (a_{n_k}) formada por termos nulos, ou seja a_{n_k}=0 para infinitos k. Então \lim_{k\to\infty} a_{n_k} = 0. Como toda subsequência de uma sequência convergente converge para o mesmo limite L, temos L=0. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 10

Afirmação: “Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Ter uma subsequência convergente não garante a convergência da sequência completa. Exemplo clássico: a_n = (-1)^n. A subsequência dos índices pares a_{2k}=1 converge para 1; a subsequência dos ímpares a_{2k+1}=-1 converge para -1. Apesar de existir subsequência convergente (várias, aliás), a sequência inteira não converge. Portanto a afirmação é falsa.

Passo 11

Afirmação: “Uma sequência alternada é necessariamente divergente.”
Interpretação e contraexemplo: “Alternada” normalmente significa algo como sinais alternados (por exemplo termos com fator (-1)^n). Não é verdade que toda sequência alternada diverge. Exemplo: a_n = \dfrac{(-1)^n}{n} é alternada, mas \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Então uma sequência alternada pode convergir (quando os módulos vão a zero). Logo a afirmação é falsa.

Passo 12

Afirmação: “Toda sequência decrescente limitada é convergente e seu limite é zero.”
Avaliação: A primeira parte está correta: se uma sequência é decrescente e limitada inferiormente, então converge (teorema do monotone convergence). Porém a afirmação completa diz também que o limite é zero — isso nem sempre ocorre. Contraexemplo para a segunda parte: a_n = 1 + \dfrac{1}{n}. Essa sequência é decrescente, limitada inferiormente por 1, e converge para 1, não para 0. Assim a afirmação global (como enunciada) é falsa porque exige que o limite seja zero. Portanto a) parte “converge” é verdadeira mas a conclusão “limite é zero” é falsa; no enunciado conjunto é falso.

Passo 13

Afirmação: “Se uma sequência (a_n) diverge, então (|a_n|) também diverge.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Exemplo simples: a_n = (-1)^n diverge, mas |a_n| = 1 para todo n, que converge. Assim não é verdade em geral que divergência seja preservada ao aplicar módulo.

Passo 14

Afirmação: “Se \left|a_{n+1}-a_{n}\right| \rightarrow 0 então (a_{n}) é convergente.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa. Que as diferenças tendam a zero significa que termos consecutivos ficam cada vez mais próximos, mas isso não garante um limite global. Contraexemplo clássico: as somas parciais da série harmônica. Defina s_n = \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}. Então s_{n+1}-s_n = \dfrac{1}{n+1}\to 0, mas s_n \to +\infty (diverge). Logo a hipótese não implica convergência. Outro exemplo mais simples: a_n = \log n tem a_{n+1}-a_n = \log\!\big(1+\tfrac{1}{n}\big)\to 0, porém a_n\to\infty.

Passo 15

Afirmação: “Se a sequência (|a_{n}|) converge para zero, então (a_{n}) também converge para zero.”
Prova didática: Se |a_n|\to 0, então por definição para todo \varepsilon>0 existe N tal que |a_n|<\varepsilon para todo n\ge N. Mas |a_n|=|a_n-0|, o que mostra exatamente que a_n\to 0. Portanto a afirmação é verdadeira e a prova é direta pela definição de limite (o valor absoluto mede a distância ao zero).

Passo 16

Afirmação: “Se a_{n} \leq b_{n}, \forall n \in \mathbb{N}, (a_{n}) crescente e (b_{n}) convergente, então (a_{n}) converge.”
Análise e prova: Como (b_n) converge, por Passo 3 é limitada; logo existe M>0 com |b_n|\le M para todo n. Da desigualdade a_n\le b_n segue a_n\le M para todo n, ou seja, (a_n) está limitada superiormente. Como (a_n) é crescente, ela é monotona crescente e limitada superiormente; pelo teorema do monotone convergence, (a_n) converge (para o supremo dos seus termos). Assim a afirmação é verdadeira.

Passo 17

Afirmação: “Se (a_{n}) é convergente, então ((-1)^{n} \cdot a_{n}) também converge.”
Contraponto e contraexemplo: Falsa em geral. Se a_n\to L, então os subíndices pares de (-1)^n a_n tendem a L (mesmo sinal se par), e os ímpares tendem a -L. Para que a sequência inteira (-1)^n a_n tenha limite único, é necessário que L=-L, ou seja L=0. Portanto só é garantida a convergência de (-1)^n a_n se a_n\to 0. Contraexemplo: tome a_n = 1 para todo n; então a_n\to 1 mas (-1)^n a_n = (-1)^n não converge. Logo a afirmação geral é falsa.

Passo 18

Afirmação: “A sequência (a_{n}) dada por a_{1}=1 e a_{n+1}=1-a_{n} é convergente.”
Análise e cálculo da sequência: Vamos escrever os primeiros termos:
a_1 = 1,\quad a_2 = 1-a_1 = 0,\quad a_3 = 1-a_2 = 1,\quad a_4 = 0,\ldots
Portanto a sequência é 1,0,1,0,\dots, ou seja a_n = 1 para n ímpar e a_n = 0 para n par. Há duas subsequências constantes com limites distintos ( 1 e 0), então a sequência completa não converge. Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 19

Afirmação: “Se \left|a_{n+1}-a_{n}\right|=1, \forall n \in \mathbb{N}, então (a_{n}) é divergente.”
Prova didática: Suponha, por contradição, que (a_n) converge para algum L. Então, pela definição, |a_{n+1}-a_n| tenderia para 0 (porque a_{n+1}\to L e a_n\to L implica a_{n+1}-a_n\to 0). Mas a hipótese impõe |a_{n+1}-a_n|=1 para todo n, ou seja, não tende a 0. Contradição. Logo (a_n) não pode convergir; isto é, é divergente. Portanto a afirmação é verdadeira.

Passo 20

Afirmação: “Se (a_{n}) é decrescente e a_{n}>0, \forall n \geq 15, então (a_{n}) converge.”
Análise e prova: Como (a_n) é decrescente, temos a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_{15}\ge a_{16}\ge\cdots. A condição a_n>0 para n\ge 15 implica que a_{15}>0; pela monotonicidade, todos os termos anteriores satisfazem a_n\ge a_{15}>0. Assim todos os termos da sequência são maiores ou iguais a a_{15} e, em particular, a sequência é limitada inferiormente por 0 (ou por a_{15}>0). Então temos uma sequência monotona decrescente e limitada inferiormente, o que garante convergência (teorema do monotone convergence). Observação: a existência de finitos termos iniciais fora dessa condição não afeta a convergência (um número finito de termos iniciais não muda o limite). Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) V
b) F
c) F
d) F
e) F
f) F
g) V
h) F
i) F
j) F
k) F
l) F
m) V
n) V
o) F
p) F
q) V
r) V

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