A disk with radius R has uniform surface charge density sigma. Calculate -partial V / partial x. Show that the result agrees with the expression for Ex calculated in Example 21.11 (Section 21.5).

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que temos um disco de raio - partial Vpartial x com densidade de carga superficial uniforme . A questão pede pra calcular
e mostrar que isso coincide com o que aparece no Exemplo 21.11.
Conteúdo: eletrostática – potencial elétrico de um disco carregado e relação .
O que precisamos:
  1. Saber expressar o potencial no eixo do disco, usando integração de anéis.
  2. Derivar em relação a e aplicar o sinal menos.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a expressão de dV = 14pivarepsilon0,dqraizx^2 + r'^2,, dq = sigma,(2pi r',dr'), . No ponto do eixo a uma distância V(x) = integralr'=0^R 14pivarepsilon0, sigma,2pi r',dr'raizx^2 + r'^2 = sigma2varepsilon0 integral0^R r',dr'raizx^2 + r'^2 do centro, cada “anel” de raio V(x) = sigma2varepsilon0,integralu=x^2^u=x^2+R^2 12,duraizu = sigma4varepsilon0l[2raizur]x^2^x^2+R^2 = sigma2varepsilon0l(raizx^2+R^2 - |x|r) e espessura boxedV(x) = sigma2varepsilon0,l(raizx^2+R^2 - xr) contribui com
Então
Para resolver essa integral, faça , logo . Assim
Como geralmente tomamos , fica

Passo 3

Agora aplicamos V(x) = sigma2varepsilon0l(raizx^2+R^2 - xr), . Diferenciando
dVdx = sigma2varepsilon0l(xraizx^2+R^2 - 1r)
temos
Ex = -dVdx = sigma2varepsilon0l(1 - xraizx^2+R^2r)
Logo

Passo 4

Compare com o resultado do Exemplo 21.11 (Seção 21.5), onde
Ex = sigma2varepsilon0l(1 - xraizx^2+R^2r)
Está certinho, são idênticos!

Resposta

boxedEx ;=; -partial Vpartial x ;=;sigma2varepsilon0l(1 - xraizx^2+R^2r)

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