A disk with radius R has uniform surface charge density sigma. By regarding the disk as a series of thin concentric rings, calculate the electric potential V at a point on the disks axis a distance x from the center of the disk. Assume that the potential is zero at infinity. (Hint: Use the result of Example 23.11 in Section 23.3.)

Passo 1

Beleza, então o exercício diz que a gente tem um disco de raio com densidade de carga superficial uniforme . A tarefa é achar o potencial elétrico num ponto que fica a uma distância do centro, bem no eixo do disco. A matéria envolvida é eletrostática: vamos usar o princípio da superposição de potenciais e integração em coordenadas cilíndricas, tratando o disco como um monte de anéis fininhos.

Passo 2

Primeiro, lembra que o potencial gerado por uma carga dV = 14pivarepsilon0,dqr' a uma distância r' = raizx^2 + r^2 e dq = sigma,dA = sigma,(2pi r,dr) é
No nosso caso cada anel de raio contribui com

Passo 3

Então o diferencial de potencial é
dV = 14pivarepsilon0,sigma,2pi r,drraizx^2 + r^2 = sigma2varepsilon0,r,drraizx^2 + r^2
Agora é só integrar V(x) = integral0^R dV = sigma2varepsilon0integral0^Rr,drraizx^2 + r^2 de 0 até :

Passo 4

Para resolver
u = x^2 + r^2 ;Rightarrow; du = 2r,dr ;Rightarrow; r,dr = du2 , faz a troca
integralu=x^2^u=x^2+R^212,u^-1/2du = l[u^1/2r]x^2^x^2+R^2 = raizx^2+R^2 - raizx^2
A integral vira
Como , .

Passo 5

Juntando tudo:
V(x) = sigma2varepsilon0l(raizx^2+R^2 - xr)
A escolha de já está garantida porque quando , e .

Resposta

boxedV(x) = sigma2varepsilon0,l(raizx^2 + R^2 - xr)

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