Dispõe-se de amostras de um material moído nas seguintes faixas de granulométricas (peneiras série Tyler): -10+14,-14+20,-20+28,-28+35 e-35+48. Pede-se:
Selecione massas dessas frações de tal modo que a mistura delas tenha 50 kg e obedeça o modelo de distribuição de tamanhos LN (Log-Normal) com parâmetros D50=0,6 mm e sigma=2,0.

Passo 1

O enunciado pede para misturarmos cinco frações granulométricas (retidas entre as malhas Tyler 10-- 14, 14-- 20, 20-- 28, 28-- 35 e 35-- 48) de modo que o total seja 50,kg e a distribuição de tamanhos siga um modelo log-normal com parâmetro de mediana geométrica D50=0,6,mm e desvio-padrão geométrico sigma=2,0. Vamos usar a função de distribuição acumulada
F(D) ;=; Phi!l(ln(D/D50)lnsigmar),
onde Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão, para obter a fração em cada intervalo de abertura de peneira.

Passo 2

Convertendo o número de malha Tyler em aberturas aproximadas (mm):
10 mesh&to 2,00;mm, 14 mesh&to 1,414;mm, 20 mesh&to 0,840;mm, 28 mesh&to 0,600;mm, 35 mesh&to 0,425;mm, 48 mesh&to 0,297;mm
Assim, os limites dos cinco intervalos i são
l[Di,min,,Di,maxr]: [1,414,2,00],, [0,840,1,414],, [0,600,0,840],, [0,425,0,600],, [0,297,0,425]

Passo 3

Calculamos para cada limite Dj o valor padrão
zj = ln(Dj/D50)lnsigma,
e depois Fj = Phi(zj). Os resultados (aprox.) são:
D1=2,00,&Rightarrow z1=1,736, F1=0,9584, D2=1,414,&Rightarrow z2=1,233, F2=0,8910, D3=0,840,&Rightarrow z3=0,485, F3=0,6854, D4=0,600,&Rightarrow z4=0,000, F4=0,5000, D5=0,425,&Rightarrow z5=-0,499, F5=0,3094, D6=0,297,&Rightarrow z6=-1,015, F6=0,1550

Passo 4

A fração de massa no intervalo i é
fi = F(Di,max) - F(Di,min)
Logo:
f1&=F1 - F2 =0,9584-0,8910=0,0674, f2&=F2 - F3 =0,8910-0,6854=0,2056, f3&=F3 - F4 =0,6854-0,5000=0,1854, f4&=F4 - F5 =0,5000-0,3094=0,1906, f5&=F5 - F6 =0,3094-0,1550=0,1544
A soma dessas frações é 0,8034, pois existe massa fora do intervalo [ 0,297; 2,00] que não coletamos. Para usar exatamente 50 kg dessas frações, normalizamos:
hat fi = fisumk=1^5 fk Rightarrow sumi=1^5hat fi =1

Passo 5

Calculando as frações normalizadas e as massas correspondentes:
hat f1&=tfrac0,06740,8034=0,08392, m1=50cdot0,08392=4,196;kg, hat f2&=tfrac0,20560,8034=0,25579, m2=50cdot0,25579=12,789;kg, hat f3&=tfrac0,18540,8034=0,23079, m3=50cdot0,23079=11,539;kg, hat f4&=tfrac0,19060,8034=0,23723, m4=50cdot0,23723=11,862;kg, hat f5&=tfrac0,15440,8034=0,19227, m5=50cdot0,19227=9,614;kg

Resposta

10 14 mesh ( 2,00 1,414 mm): 4,20 kg
14 20 mesh ( 1,414 0,840 mm): 12,79 kg
20 28 mesh ( 0,840 0,600 mm): 11,54 kg
28 35 mesh ( 0,600 0,425 mm): 11,86 kg
35 48 mesh ( 0,425 0,297 mm): 9,61 kg

Exercícios relacionados