A peneiração de uma amostra de areia gerou a seguinte distribuição de tamanhos:
d(mu m) 88 125 177 250 354 500
y(%) 2 12 51 78 95 100
Pede-se:
a) Dentre os modelos GGS, sigmóide, Rosin-Rammler, normal e log-normal, indicar qual melhor descreve a referida análise.
b) Calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra a partir dos dados da tabela.
c) Calcular o diâmetro médio de Sauter com base nas distribuições contínuas obtidas pelos modelos em (a).

Passo 1

O enunciado fornece uma curva granulométrica acumulada, com diâmetros de peneira
di;(mum)=88,;125,;177,;250,;354,;500
e percentuais de passagem
yi;(%)=2,;12,;51,;78,;95,;100
O conteúdo é modelagem de distribuição de tamanho de partículas e cálculo do diâmetro médio de Sauter, isto é,
D32=sum fi,di^3sum fi,di^2,
onde fi são as frações de massa em cada classe. Vamos:
  • (a) escolher o modelo mais adequado (entre GGS, sigmóide, Rosin–Rammler, normal e log-normal);
  • (b) calcular D32 pelos dados discretos;
  • (c) calcular D32 usando a distribuição contínua obtida no item (a).

Passo 2

Para ver qual modelo casa melhor, aplicamos o teste log-normal (“probit plot”):
  1. Transformamos yi em quantis da normal padrão: ui=Phi^-1l(yi/100r), obtendo aproximadamente
    ui=-2,05,,-1,17,,0,025,,0,772,,1,645.
  2. Calculamos ln di:
    4,48,;4,83,;5,18,;5,52,;5,87.
  3. Ajustamos regressão linear ui = a + b,ln di; o gráfico é praticamente uma reta, com coeficiente de correlação muito próximo de 1. Isso indica que a log-normal é o modelo mais adequado (igual teste de Rosin–Rammler dá reta mas com mais dispersão).

Passo 3

Cálculo de D32 pelos dados discretos:
  1. As frações de massa nas classes são f1=2100=0,02,; f2=12-2100=0,10,; f3=0,39,; f4=0,27,; f5=0,17,; f6=0,05
  2. Usamos diâmetro representativo em cada intervalo como a média geométrica
    di=raizdi-1,di, tomando d1=88,; d2=raiz88cdot125approx104,9,; d3approx148,8,; d4approx210,4,; d5approx297,5,; d6approx420,7
  3. Aplicamos D32 =sumi=1^6 fi,di^3sumi=1^6 fi,di^2 approx12,1times10^64,57times10^4 approx265 mum

Passo 4

Determinação dos parâmetros da log-normal pela regressão de u em ln d:
u = b,ln d + a,
com bapprox2,66 e aapprox-13,755. Como
u = ln d - musigma,
segue b=1/sigma e a=-mu/sigma. Logo
sigma = 12,66approx0,376, mu = -a,sigmaapprox5,171

Passo 5

Cálculo de D32 pela distribuição log-normal contínua usando momentos:
para log-normal, o momento de ordem k é
Mk = expl(kmu + tfrack^2sigma^22r)
Assim
D32=M3M2 =exp!l(mu+5sigma^22r) =exp!l(5,171 + tfrac5cdot0,376^22r) approx251 mum

Resposta

a) O modelo log-normal.
b) D32approx265 mum (dados discretos).
c) D32approx251 mum (distribuição log-normal contínua).

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