A peneiração de uma amostra de areia gerou a seguinte distribuição de tamanhos:
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88 | 125 | 177 | 250 | 354 | 500 |
---|---|---|---|---|---|---|
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2 | 12 | 51 | 78 | 95 | 100 |
Pede-se:
a) Dentre os modelos GGS, sigmóide, Rosin-Rammler, normal e log-normal, indicar qual melhor descreve a referida análise.
b) Calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra a partir dos dados da tabela.
c) Calcular o diâmetro médio de Sauter com base nas distribuições contínuas obtidas pelos modelos em (a).
a) Dentre os modelos GGS, sigmóide, Rosin-Rammler, normal e log-normal, indicar qual melhor descreve a referida análise.
b) Calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra a partir dos dados da tabela.
c) Calcular o diâmetro médio de Sauter com base nas distribuições contínuas obtidas pelos modelos em (a).
Passo 1
O enunciado fornece uma curva granulométrica acumulada, com diâmetros de peneira
e percentuais de passagem
O conteúdo é modelagem de distribuição de tamanho de partículas e cálculo do diâmetro médio de Sauter, isto é,
onde
são as frações de massa em cada classe. Vamos:
- (a) escolher o modelo mais adequado (entre GGS, sigmóide, Rosin–Rammler, normal e log-normal);
- (b) calcular
pelos dados discretos; - (c) calcular
usando a distribuição contínua obtida no item (a).
Passo 2
Para ver qual modelo casa melhor, aplicamos o teste log-normal (“probit plot”):
- Transformamos
em quantis da normal padrão: obtendo aproximadamente
. - Calculamos
:
. - Ajustamos regressão linear
; o gráfico é praticamente uma reta, com coeficiente de correlação muito próximo de 1. Isso indica que a log-normal é o modelo mais adequado (igual teste de Rosin–Rammler dá reta mas com mais dispersão).
Passo 3
Cálculo de
pelos dados discretos:
- As frações de massa nas classes são
- Usamos diâmetro representativo em cada intervalo como a média geométrica
, tomando - Aplicamos
Passo 4
Determinação dos parâmetros da log-normal pela regressão de
em
:
com
e
. Como
segue
e
. Logo
Passo 5
Cálculo de
pela distribuição log-normal contínua usando momentos:
para log-normal, o momento de ordem é
para log-normal, o momento de ordem
Assim
Resposta
a) O modelo log-normal.
b) (dados discretos).
c) (distribuição log-normal contínua).
b)
c)