Considere duas amostras de dois fertilizantes A e B , cujas distribuições seguem um modelo GGS ( D100=30 mu m e m=1,5 ) para A e RRB ( D63,2=70 mu m e m=1,3 ) para B. Os fertilizantes são devidamente misturados na proporção 3/1 (A/B) em massa. Calcule o diâmetro médio de Sauter e de De Brouckere para a mistura.

Passo 1

O enunciado dá duas amostras de fertilizante com distribuições de partículas:
– A segue uma lei Gaudin–Schuhmann (GGS) com parâmetro de forma m=1,5 e diâmetro D100=30,mum.
– B segue Rosin–Rammler–Bennett (RRB) com parâmetro de forma m=1,3 e diâmetro característico D63,2=70,mum.
Elas são misturadas em proporção massa 3/ 1 (A/B). Queremos os diâmetros médios de Sauter ( D32) e de De Brouckère ( D43) da mistura. Para isso vamos:
1. Obter fórmulas de D32 e D43 em termos dos momentos da distribuição.
2. Calcular esses momentos em A e B.
3. Fazer a média ponderada pela fração de massa.

Passo 2

Para qualquer distribuição de diâmetros, define-se o momento de ordem k como
E[d^k] = integral d^k,f(d),dd
Os diâmetros médios são
D32 = E[d^3]E[d^2], D43 = E[d^4]E[d^3]
No caso GGS (Gaudin–Schuhmann) com F(d)=(d/D100)^m e pdf f(d)=mD100^m,d^m-1 para 0<= d<= D100, o momento de ordem k é
E[d^k] = mD100^mintegral0^D100 d^k+m-1,dd = mm+k,D100^k

Passo 3

Para A, com D100=30,mum e m=1,5:
E[d^2]=1,51,5+2,30^2 =1,53,5cdot900 =385,71;mum^2,
E[d^3]=1,51,5+3,30^3 =1,54,5cdot27000 =9000;mum^3,
E[d^4]=1,51,5+4,30^4 =1,55,5cdot810000 approx220909;mum^4
Logo
D32,A =E[d^3]E[d^2] =9000385,71 approx23,33,mum, D43,A =E[d^4]E[d^3] =2209099000 approx24,55,mum

Passo 4

Na distribuição RRB (Rosin–Rammler),
F(d)=1-exp!l[-(d/lambda)^mr],
com lambda=D63,2 (pois F(lambda)=1-e^-1=0,632). Os momentos são
E[d^k] =integral0^infty d^k,mlambda^md^m-1e^-(d/lambda)^m,dd =lambda^k,Gammal(1+tfrackmr)
Assim
D32 =lambda, Gamma!l(1+tfrac3mr) Gamma!l(1+tfrac2mr), D43 =lambda, Gamma!l(1+tfrac4mr) Gamma!l(1+tfrac3mr)

Passo 5

Para B, lambda=70,mum e m=1,3. Calculando numericamente as funções Gamma obtém-se aproximadamente
D32,B =70;Gamma(1+3/1,3)Gamma(1+2/1,3) approx70cdot2,7081,370 approx138,3,mum,
D43,B =70;Gamma(1+4/1,3)Gamma(1+3/1,3) approx70cdot6,6132,708 approx170,9,mum

Passo 6

Na mistura com frações de massa alphaA=3/4 e alphaB=1/4, e assumindo densidades iguais (logo massa propto volume), a média dos diâmetros médios é
D32,mix =alphaA,D32,A+alphaB,D32,B =0,75cdot23,33+0,25cdot138,3 approx52,1,mum,
D43,mix =0,75cdot24,55+0,25cdot170,9 approx61,1,mum

Resposta

D32,mixapprox52,1,mum D43,mixapprox61,1,mum

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