Dispõe-se de um evaporador de efeito duplo operando em cocorrente com uma área de transferência de calor de
em cada efeito para concentrar uma solução aquosa a
desde
(em massa) num determinado soluto até
. Sabe-se que, nas condições de trabalho, são praticamente nulas as elevações das temperaturas de ebulição das soluções aquosas e que os seus calores específicos são aproximadamente iguais aos da água pura (
). O fluido de aquecimento é vapor de água saturado a 3 atm e, no segundo efeito, a pressão é mantida a 610 mmHg . Os coeficientes globais de transferência de calor dos evaporadores são (em kcal/h.m
)
e
. Calcule a vazão de solução que pode ser tratada por hora neste evaporador duplo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei os valores diretamente do enunciado):
- Área de troca térmica em cada efeito:
(cada efeito). - Evaporador de dois efeitos em cocorrente.
- Solução inicial (alimentação) à temperatura
. - Fracção mássica do soluto na alimentação:
. - Fracção mássica do soluto no produto concentrado:
. - As elevações de temperatura de ebulição são desprezíveis.
- Calor específico aproximado igual ao da água:
. - Coeficientes globais de transferência de calor:
-
(primeiro efeito), -
(segundo efeito).
-
- Pressão do vapor de aquecimento (vapor saturado) que alimenta o primeiro efeito:
(pego da condição do enunciado). - Pressão no segundo efeito:
(pego do enunciado).
O que o enunciado pede:
- Calcular a vazão de solução (massa por hora) que pode ser tratada por este evaporador duplo.
Observações preliminares (a partir do enunciado, que autorizam estas aproximações):
- Como as elevações de temperatura de ebulição são desprezíveis, podemos assumir temperaturas de ebulição/saturação iguais às dos correspondentes estados de vapor saturado.
- O vapor gerado no primeiro efeito é usado como meio calefator do segundo efeito (efeito em cascata), portanto o calor liberado pela condensação do vapor do 1.º efeito aquece o 2.º efeito.
- Serão necessários balanços de massa (para a concentração) e de energia (sensible + latente) em cada efeito, e as equações de transferência de calor
para cada efeito.
Passo 2
Balanço de massa para determinar a massa de água a evaporar por unidade de massa de alimentação.
Seja
a vazão mássica de alimentação em
(o que queremos encontrar). Conservação do soluto:
onde
é a vazão mássica do produto. Assim
A massa total evaporada
por hora é a diferença entre alimentação e produto:
Portanto a massa de água a ser evaporada por hora é
. Essa água evaporada é a soma das vaporações no 1.º e no 2.º efeito:
onde
é a vazão de vapor gerada no 1.º efeito (kg/h) e
a vazão de vapor gerada no 2.º efeito (kg/h).
Passo 3
Escrever os balanços de energia e as relações de transferência de calor, com explicação didática.
Conceitos usados:
- Em cada efeito a solução ferve a uma temperatura de ebulição constante
; para vapor saturado (ou condensação), a troca de calor é aproximadamente dada por , onde aqui é a diferença de temperatura entre o vapor que condensa (ou vapor de aquecimento) e a solução em ebulição do outro lado. No nosso caso, como em cada lado há mudança de fase a temperatura constante, o LMΔT reduz-se à diferença . - Calor latente de vaporização
de água depende da temperatura; pode ser aproximado por uma relação linear conveniente para enunciados práticos: que é a conversão aproximada da conhecida expressão em kJ/kg. (Explico: a entalpia de vaporização decresce com a temperatura; a forma linear é uma aproximação suficiente para este exercício.) - Calor sensível necessário para aquecer uma massa
de líquido de para é , com em .
Relações de energia para os dois efeitos (esquema):
- Primeiro efeito:
- Calor fornecido pelo vapor externo (vapor saturado a
, temperatura ) é onde é a temperatura de ebulição da solução no primeiro efeito. - Esse calor
é usado para: - aquecer a alimentação de
até (sensível sobre toda a alimentação ), - vaporizar uma massa
(latente, à temperatura ).
Assim:
- aquecer a alimentação de
- Calor fornecido pelo vapor externo (vapor saturado a
- Segundo efeito:
- O agente calefator é o vapor gerado no 1.º efeito (que tem temperatura de saturação
). Assim o calor disponível no 2.º efeito é: onde é a temperatura de ebulição no segundo efeito (dada pela pressão de ). - Esse calor
corresponde à condensação do vapor do primeiro efeito, ou seja, - E o calor necessário no 2.º efeito para produzir
de vapor é (desprezando aquecimento sensível adicional ao entrar no 2.º efeito, pois a corrente que entra no 2.º efeito está praticamente à temperatura e o ebulição ocorre a ; portanto o principal termo é latente) Observação: na nossa modelagem usamos explicitamente e também .
- O agente calefator é o vapor gerado no 1.º efeito (que tem temperatura de saturação
Resumindo as equações principais que vamos resolver:
Passo 4
Converter unidades e obter valores numéricos para constantes conhecidas.
- Converter
para : - Produtos
(cada efeito):
- Temperaturas de saturação (peguei em tabelas de vapor saturado):
- Vapor de aquecimento:
(vapor saturado a ). - Segundo efeito:
(saturação a ).
- Vapor de aquecimento:
- Fórmula aproximada para o calor latente em
: Assim
Passo 5
Combinar equações para eliminar variáveis e obter uma equação para
.
De
obtemos
De
segue
Da soma dos evaporados
obtemos
Agora substituir
e
na equação de energia do primeiro efeito:
Dividindo toda a equação por
(assumindo
) e substituindo
por sua expressão:
Substituir
e simplificar:
As áreas cancelam; definindo
obtemos a equação não linear em
:
onde
e
.
Essa equação será resolvida numericamente para
.
Passo 6
Resolver numericamente a equação para
. (Faço iterações simples e mostro os cálculos de alguns palpites.)
Constantes numéricas:
Testando valores de
:
-
Para
: Calculo do lado esquerdo (LHS):Calculo do lado direito (RHS):Aqui. -
Para
:
Aqui
.
Portanto a raiz está entre
e
. Refinando (iteração rápida) obtém-se
(Se alguém quiser, pode usar método de Newton-Raphson ou uma calculadora para maior precisão; a nossa iteração dá
, que é suficiente para o problema.)
Passo 7
Com
encontrado, calcular
,
e finalmente
.
- Primeiro calcule
e numéricos:
-
Calcular
a partir de : -
Calcular
: -
Calcular
: -
Soma dos evaporados:
-
Finalmente
:
Arredondando de forma razoável, a vazão de solução que pode ser tratada é aproximadamente
.
Passo 8
Verificação rápida do balanço de energia no 1.º efeito (checagem numérica):
- Calor fornecido no 1.º efeito:
- Termos consumidos:
- Sensível para aquecer a alimentação
de para : - Latente para gerar
: - Soma
, muito próxima de (diferença pequena devido a arredondamentos). Boa consistência.
- Sensível para aquecer a alimentação