Dispõe-se de um evaporador de efeito duplo operando em cocorrente com uma área de transferência de calor de 20 \mathrm{~m}^{2} em cada efeito para concentrar uma solução aquosa a 40^{\circ} \mathrm{C} desde 10 \% (em massa) num determinado soluto até 50 \%. Sabe-se que, nas condições de trabalho, são praticamente nulas as elevações das temperaturas de ebulição das soluções aquosas e que os seus calores específicos são aproximadamente iguais aos da água pura ( \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=4,14 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ). O fluido de aquecimento é vapor de água saturado a 3 atm e, no segundo efeito, a pressão é mantida a 610 mmHg . Os coeficientes globais de transferência de calor dos evaporadores são (em kcal/h.m { }^{2 \circ} \mathrm{C} ) \mathrm{U}_{1}=2200 e \mathrm{U}_{2}=1500. Calcule a vazão de solução que pode ser tratada por hora neste evaporador duplo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados (peguei os valores diretamente do enunciado):
  • Área de troca térmica em cada efeito: A=20\\ \mathrm{m^{2}} (cada efeito).
  • Evaporador de dois efeitos em cocorrente.
  • Solução inicial (alimentação) à temperatura 40^\circ\mathrm{C}.
  • Fracção mássica do soluto na alimentação: x_F=0,10.
  • Fracção mássica do soluto no produto concentrado: x_P=0,50.
  • As elevações de temperatura de ebulição são desprezíveis.
  • Calor específico aproximado igual ao da água: c_p=4,14\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
  • Coeficientes globais de transferência de calor:
    • \;U_1=2200\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^{2}\cdot ^\circ C)} (primeiro efeito),
    • \;U_2=1500\\ \mathrm{kcal/(h\cdot m^{2}\cdot ^\circ C)} (segundo efeito).
  • Pressão do vapor de aquecimento (vapor saturado) que alimenta o primeiro efeito: 3\\ \mathrm{atm} (pego da condição do enunciado).
  • Pressão no segundo efeito: 610\\ \mathrm{mmHg} (pego do enunciado).
O que o enunciado pede:
  • Calcular a vazão de solução (massa por hora) que pode ser tratada por este evaporador duplo.
Observações preliminares (a partir do enunciado, que autorizam estas aproximações):
  • Como as elevações de temperatura de ebulição são desprezíveis, podemos assumir temperaturas de ebulição/saturação iguais às dos correspondentes estados de vapor saturado.
  • O vapor gerado no primeiro efeito é usado como meio calefator do segundo efeito (efeito em cascata), portanto o calor liberado pela condensação do vapor do 1.º efeito aquece o 2.º efeito.
  • Serão necessários balanços de massa (para a concentração) e de energia (sensible + latente) em cada efeito, e as equações de transferência de calor Q=U A \Delta T para cada efeito.

Passo 2

Balanço de massa para determinar a massa de água a evaporar por unidade de massa de alimentação.
Seja F a vazão mássica de alimentação em \mathrm{kg/h} (o que queremos encontrar). Conservação do soluto:
F x_F = P x_P,
onde P é a vazão mássica do produto. Assim
P = F \frac{x_F}{x_P} = F \frac{0,10}{0,50} = 0{,}2\,F.
A massa total evaporada E por hora é a diferença entre alimentação e produto:
E = F - P = F - 0{,}2F = 0{,}8F.
Portanto a massa de água a ser evaporada por hora é \;E=0{,}8F. Essa água evaporada é a soma das vaporações no 1.º e no 2.º efeito:
m_1 + m_2 = 0{,}8F,
onde m_1 é a vazão de vapor gerada no 1.º efeito (kg/h) e m_2 a vazão de vapor gerada no 2.º efeito (kg/h).

Passo 3

Escrever os balanços de energia e as relações de transferência de calor, com explicação didática.
Conceitos usados:
  • Em cada efeito a solução ferve a uma temperatura de ebulição constante T; para vapor saturado (ou condensação), a troca de calor é aproximadamente dada por Q = U A \Delta T, onde \Delta T aqui é a diferença de temperatura entre o vapor que condensa (ou vapor de aquecimento) e a solução em ebulição do outro lado. No nosso caso, como em cada lado há mudança de fase a temperatura constante, o LMΔT reduz-se à diferença (T_\text{quente}-T_\text{frio}).
  • Calor latente de vaporização \lambda de água depende da temperatura; pode ser aproximado por uma relação linear conveniente para enunciados práticos: \lambda\\ (\text{kcal/kg}) \approx 597{,}9 - 0{,}564\,T\\ (\!^\circ\mathrm{C}\!),que é a conversão aproximada da conhecida expressão em kJ/kg. (Explico: a entalpia de vaporização decresce com a temperatura; a forma linear é uma aproximação suficiente para este exercício.)
  • Calor sensível necessário para aquecer uma massa m de líquido de T_a para T_b é m c_p (T_b - T_a), com c_p em \mathrm{kcal/(kg\cdot K)}.
Relações de energia para os dois efeitos (esquema):
  • Primeiro efeito:
    • Calor fornecido pelo vapor externo (vapor saturado a 3\\ \mathrm{atm}, temperatura T_s) é Q_1 = U_1 A (T_s - T_1),onde T_1 é a temperatura de ebulição da solução no primeiro efeito.
    • Esse calor Q_1 é usado para:
      • aquecer a alimentação de 40^\circ\mathrm{C} até T_1 (sensível sobre toda a alimentação F),
      • vaporizar uma massa m_1 (latente, à temperatura T_1).
        Assim:
      Q_1 = F c_p (T_1 - 40) + m_1 \lambda_1.
  • Segundo efeito:
    • O agente calefator é o vapor gerado no 1.º efeito (que tem temperatura de saturação T_1). Assim o calor disponível no 2.º efeito é: Q_2 = U_2 A (T_1 - T_2),onde T_2 é a temperatura de ebulição no segundo efeito (dada pela pressão de 610\\ \mathrm{mmHg}).
    • Esse calor Q_2 corresponde à condensação do vapor do primeiro efeito, ou seja, Q_2 = m_1 \lambda_1.
    • E o calor necessário no 2.º efeito para produzir m_2 de vapor é (desprezando aquecimento sensível adicional ao entrar no 2.º efeito, pois a corrente que entra no 2.º efeito está praticamente à temperatura T_1 e o ebulição ocorre a T_2<T_1; portanto o principal termo é latente) Q_2 \approx m_2 \lambda_2.Observação: na nossa modelagem usamos explicitamente Q_2=m_1\lambda_1 e também m_2=Q_2/\lambda_2.
Resumindo as equações principais que vamos resolver:
\begin{aligned} &Q_1 = U_1 A (T_s - T_1) = F c_p (T_1 - 40) + m_1 \lambda_1,\\[4pt] &Q_2 = U_2 A (T_1 - T_2) = m_1 \lambda_1,\\[4pt] &m_2 = \dfrac{Q_2}{\lambda_2},\\[4pt] &m_1 + m_2 = 0{,}8 F. \end{aligned}]

Passo 4

Converter unidades e obter valores numéricos para constantes conhecidas.
  • Converter c_p para \mathrm{kcal/(kg\cdot K)}: c_p = 4{,}14\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} = \frac{4{,}14}{4{,}184}\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot K)} \approx 0{,}99\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot K)}.
  • Produtos U A (cada efeito): U_1 A = 2200\cdot 20 = 44\,000\\ \mathrm{kcal/(h\cdot ^\circ C)},
U_2 A = 1500\cdot 20 = 30\,000\\ \mathrm{kcal/(h\cdot ^\circ C)}.
  • Temperaturas de saturação (peguei em tabelas de vapor saturado):
    • Vapor de aquecimento: \;T_s \approx 133{,}5^\circ\mathrm{C} (vapor saturado a 3\\ \mathrm{atm}).
    • Segundo efeito: \;T_2 \approx 96{,}8^\circ\mathrm{C} (saturação a 610\\ \mathrm{mmHg}\approx 0,803\\ \mathrm{atm}).
  • Fórmula aproximada para o calor latente em \mathrm{kcal/kg}: \lambda(T)\approx 597{,}9 - 0{,}564\,T.Assim \lambda_1 = 597{,}9 - 0{,}564\,T_1\quad(\text{dependente de }T_1),
\lambda_2 = 597{,}9 - 0{,}564\,T_2 \approx 597{,}9 - 0{,}564\cdot 96{,}8 \approx 543{,}24\\ \mathrm{kcal/kg}.

Passo 5

Combinar equações para eliminar variáveis e obter uma equação para T_1.
De Q_2=U_2 A (T_1 - T_2) = m_1 \lambda_1 obtemos
m_1 = \dfrac{U_2 A (T_1 - T_2)}{\lambda_1}.
De m_2 = Q_2/\lambda_2 segue
m_2 = \dfrac{m_1 \lambda_1}{\lambda_2} = m_1\frac{\lambda_1}{\lambda_2}.
Da soma dos evaporados m_1+m_2=0{,}8F obtemos
0{,}8F = m_1\left(1+\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)\quad\Rightarrow\quad F=\frac{m_1\left(1+\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)}{0{,}8}.
Agora substituir F e m_1 na equação de energia do primeiro efeito:
U_1 A (T_s - T_1) = F c_p (T_1 - 40) + m_1 \lambda_1.
Dividindo toda a equação por m_1 (assumindo m_1>0) e substituindo F por sua expressão:
\frac{U_1 A (T_s - T_1)}{m_1} = \frac{1+\lambda_1/\lambda_2}{0{,}8}\,c_p (T_1 - 40) + \lambda_1.
Substituir m_1=\dfrac{U_2 A (T_1 - T_2)}{\lambda_1} e simplificar:
\frac{U_1 A (T_s - T_1)}{U_2 A (T_1 - T_2)/\lambda_1} = \frac{1+\lambda_1/\lambda_2}{0{,}8}\,c_p (T_1 - 40) + \lambda_1.
As áreas cancelam; definindo C=\dfrac{U_1}{U_2}=\dfrac{44\,000}{30\,000}=1{,}466\overline{6} obtemos a equação não linear em T_1:
C\,\lambda_1\,\frac{(T_s - T_1)}{(T_1 - T_2)} = \frac{1+\lambda_1/\lambda_2}{0{,}8}\,c_p (T_1 - 40) + \lambda_1,
onde \lambda_1=597{,}9-0{,}564\,T_1 e \lambda_2\approx 543{,}24.
Essa equação será resolvida numericamente para T_1.

Passo 6

Resolver numericamente a equação para T_1. (Faço iterações simples e mostro os cálculos de alguns palpites.)
Constantes numéricas:
C = 1{,}466\overline{6},\qquad T_s=133{,}5^\circ\mathrm{C},\qquad T_2=96{,}8^\circ\mathrm{C},
\lambda_2 \approx 543{,}24\\ \mathrm{kcal/kg},\qquad c_p\approx 0{,}99\\ \mathrm{kcal/(kg\cdot K)}.
Testando valores de T_1:
  • Para T_1=115{,}0^\circ\mathrm{C}:
    \lambda_1=597{,}9-0{,}564\cdot 115 =533{,}04.
    Calculo do lado esquerdo (LHS):
    \text{LHS}=C\lambda_1\frac{T_s-T_1}{T_1-T_2} \approx 1{,}4667\cdot 533{,}04\cdot\frac{18{,}5}{18{,}2}\approx 795\\ \mathrm{kcal/kg}.
    Calculo do lado direito (RHS):
    \text{RHS}=\frac{1+\lambda_1/\lambda_2}{0{,}8}\,c_p (T_1-40) + \lambda_1 \approx 717\\ \mathrm{kcal/kg}.
    Aqui \text{LHS}>\text{RHS}.
  • Para T_1=116{,}0^\circ\mathrm{C}:
    \lambda_1\approx 532{,}48,
\text{LHS}\approx 712\\ \mathrm{kcal/kg},\qquad \text{RHS}\approx 719\\ \mathrm{kcal/kg}.
Aqui \text{LHS}<\text{RHS}.
Portanto a raiz está entre 115{,}0^\circ\mathrm{C} e 116{,}0^\circ\mathrm{C}. Refinando (iteração rápida) obtém-se
T_1 \approx 115{,}9^\circ\mathrm{C}.
(Se alguém quiser, pode usar método de Newton-Raphson ou uma calculadora para maior precisão; a nossa iteração dá T_1\approx 115{,}9^\circ\mathrm{C}, que é suficiente para o problema.)

Passo 7

Com T_1 encontrado, calcular m_1, m_2 e finalmente F.
  • Primeiro calcule \lambda_1 e \lambda_2 numéricos: \lambda_1 = 597{,}9 - 0{,}564\cdot 115{,}9 \approx 532{,}50\\ \mathrm{kcal/kg},
\lambda_2 \approx 543{,}24\\ \mathrm{kcal/kg}\\ (\text{já calculado}).á
  • Calcular m_1 a partir de m_1 = \dfrac{U_2 A (T_1 - T_2)}{\lambda_1}:
    m_1 = \frac{30\,000\cdot(115{,}9-96{,}8)}{532{,}50} = \frac{30\,000\cdot 19{,}1}{532{,}50} \approx 1\,075{,}8\\ \mathrm{kg/h}.
  • Calcular Q_2 = m_1\lambda_1:
    Q_2 \approx 1\,075{,}8\cdot 532{,}50 \approx 572\,730\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Calcular m_2 = Q_2/\lambda_2:
    m_2 \approx \frac{572\,730}{543{,}24} \approx 1\,054{,}2\\ \mathrm{kg/h}.
  • Soma dos evaporados:
    m_1+m_2 \approx 1\,075{,}8 + 1\,054{,}2 = 2\,130{,}0\\ \mathrm{kg/h}.
  • Finalmente F = \dfrac{m_1+m_2}{0{,}8}:
    F \approx \frac{2\,130{,}0}{0{,}8} \approx 2\,662{,}5\\ \mathrm{kg/h}.
Arredondando de forma razoável, a vazão de solução que pode ser tratada é aproximadamente \;2{,}66\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 8

Verificação rápida do balanço de energia no 1.º efeito (checagem numérica):
  • Calor fornecido no 1.º efeito: Q_1 = U_1 A (T_s - T_1) = 44\,000\cdot(133{,}5-115{,}9) = 44\,000\cdot 17{,}6 \approx 774\,400\\ \mathrm{kcal/h}.
  • Termos consumidos:
    • Sensível para aquecer a alimentação F de 40^\circ\mathrm{C} para T_1: F c_p (T_1-40) \approx 2\,662{,}5\cdot 0{,}99\cdot 75{,}9 \approx 200\,000\\ \mathrm{kcal/h}.
    • Latente para gerar m_1: m_1 \lambda_1 \approx 1\,075{,}8\cdot 532{,}5 \approx 572\,730\\ \mathrm{kcal/h}.
    • Soma \approx 772\,730\\ \mathrm{kcal/h}, muito próxima de Q_1 (diferença pequena devido a arredondamentos). Boa consistência.

Resposta

F \approx 2{,}66\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/h}

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