13600 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma solução aquosa com 10 \% (massa) de NaOH a 38^{\circ} \mathrm{C} são evaporados até 50 \%, usando vapor d’água saturado a 8 bar.
a. Se for usado um evaporador simples com \mathrm{U}=2300 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) operando a 102 mmHg , calcule a área de transferência de calor e a economia deste evaporador.
b. Considerando agora que a operação é conduzida em um sistema de evaporação a duplo efeito em cocorrente em que \mathrm{U}_{1}=2550 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right) e \mathrm{U}_{2}=2000 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2}{ }^{\circ} \mathrm{C}\right), e que opera a 102 mmHg no segundo efeito, determine a área de transferência de calor em cada efeito (assumidas iguais) e a economia global.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Vazão mássica da solução alimentada: 13600\\ \mathrm{kg/h}.
    • Concentração inicial de NaOH: 10\% em massa.
    • Temperatura da alimentação: 38^\circ\mathrm{C}.
    • Concentração final desejada: 50\% em massa.
    • Vapor gerador (alimentador de calor): vapor saturado a 8\\ \mathrm{bar}.
    • Para o evaporador simples: U=2300\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^\circ C)} e a operação do corpo de evaporação ocorre a 102\\ \mathrm{mmHg}.
    • Para o duplo efeito (cocorrente): U_1=2550\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^\circ C)} (primeiro efeito) e U_2=2000\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^\circ C)} (segundo efeito), e o segundo efeito opera a 102\\ \mathrm{mmHg}.
  • O que o enunciado pede:
    a) Para o evaporador simples, calcular a área de troca térmica A e a economia do evaporador (kg de água evaporada por kg de vapor utilizado).
    b) Para um sistema de duplo efeito em cocorrente (com as U dadas, assumindo áreas iguais nos dois efeitos), determinar a área de cada efeito (área por efeito) e a economia global do sistema.
  • Informação extra que será necessária (vou usar tabelas/valores aproximados do vapor saturado):
    • Converter 102\\ \mathrm{mmHg} em pressão relativa para achar a temperatura de ebulição no evaporador. Vou usar a relação aproximada: 102\\ \mathrm{mmHg}\approx 0{,}134\\ \mathrm{atm} e, por tabela de vapor d’água, a temperatura de saturação correspondente é aproximadamente T_{2}\approx 52{,}7^\circ\mathrm{C}. (Vou indicar explicitamente que esse valor foi obtido da tabela de vapor.)
    • Temperatura de saturação do vapor a 8\\ \mathrm{bar} (assumo pressão absoluta): T_s\approx 170{,}4^\circ\mathrm{C} (valor de tabela).
    • Calores latentes aproximados (valores tomados de tabela/estimativa razoável):
      • Calor latente à temperatura do evaporador T_{2}\approx 52{,}7^\circ\mathrm{C}: \lambda_{2}\approx 2387\\ \mathrm{kJ/kg}.
      • Calor latente do vapor saturado a 8\\ \mathrm{bar}: \lambda_s\approx 2060\\ \mathrm{kJ/kg} (valor de tabela aproximado).
    • Capacidade calorífica aproximada da solução (assumo próximo da água): c_p\approx 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}.
Observações/hipóteses que vou usar (e justifico quando usar):
  • Vou calcular massa de água evaporada a partir do balanço de massa do soluto (NaOH).
  • Vou incluir o aquecimento sensível da alimentação de 38^\circ\mathrm{C} até a temperatura de ebulição do evaporador na conta de calor total (importante para área).
  • Para o duplo efeito, como o aquecimento sensível é relativamente pequeno em comparação com o calor de vaporização (verificação numérica), adotarei a simplificação usual: dividir a carga de vaporização entre os dois efeitos levando em conta as U e as diferenças de temperatura. Vou explicitar essa suposição no passo correspondente e mostrar a forma como a usei.

Passo 2

Calcular quantidades básicas: massa de soluto, massa de produto e massa evaporada.
  • Massa de NaOH na alimentação: m_{\text{NaOH}} = 0{,}10 \times 13600 = 1360\\ \mathrm{kg/h}.
  • Massa do produto desejado (concentração 50\%): m_{\text{produto}} = \frac{m_{\text{NaOH}}}{0{,}50} = \frac{1360}{0{,}5} = 2720\\ \mathrm{kg/h}.
  • Logo, massa evaporada (água removida) por hora: m_{\text{evap}} = 13600 - 2720 = 10880\\ \mathrm{kg/h}.
  • Converto vazões para kg/s (útil para potências em W): \dot m_{\text{feed}} = \frac{13600}{3600} = 3{,}7778\\ \mathrm{kg/s}, \qquad \dot m_{\text{evap}} = \frac{10880}{3600} = 3{,}0222\\ \mathrm{kg/s}.
Comentário: a massa a evaporar 10880\\ \mathrm{kg/h} é um número grande — era de se esperar porque estamos concentrando de 10\% para 50\%.

Passo 3

Determinar temperaturas relevantes e calores latentes usados (valores tomados de tabelas de vapor; indico explicitamente).
  • Pressão de operação do evaporador: 102\\ \mathrm{mmHg}. Convertendo e consultando tabela de vapor: 102\\ \mathrm{mmHg} \approx 0{,}134\\ \mathrm{atm},\qquad T_{2} \approx 52{,}7^\circ\mathrm{C}.(valor obtido de tabela de vapor d’água; há alguma pequena incerteza por interpolação, mas 52{,}7^\circ\mathrm{C} é adequado.)
  • Temperatura de saturação do vapor fornecido: p_{\text{vapor}} = 8\\ \mathrm{bar}\\ (\text{abs}) \Rightarrow T_{s}\approx 170{,}4^\circ\mathrm{C}.(valor de tabela.)
  • Latentes aproximadas (valores de tabela/estimativa): \lambda_{2} = \text{hfg at }T_{2}\approx 2387\\ \mathrm{kJ/kg}, \qquad \lambda_s = \text{hfg at }8\\ \mathrm{bar}\approx 2060\\ \mathrm{kJ/kg}.Observação: usei tabelas de vapor para estes dois valores; se tiver acesso a uma tabela mais precisa substitua os números sem alterar o método.

Passo 4

Calcular o calor necessário no evaporador simples (parte a): aquecimento sensível + vaporização.
  • Aquecimento sensível da alimentação (levar toda a massa de alimentação de 38^\circ\mathrm{C} até T_{2}\approx 52{,}7^\circ\mathrm{C}): \Delta T_{\text{sense}} = 52{,}7 - 38 = 14{,}7^\circ\mathrm{C}.
\dot Q_{\text{sense}} = \dot m_{\text{feed}} \, c_p \, \Delta T_{\text{sense}} = 3{,}7778\\ \mathrm{kg/s}\times 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\;K)}\times 14{,}7\\ \mathrm{K}.
Calculo numérico (converter para W, lembrando 1\\ \mathrm{kJ/s}=1\\ \mathrm{kW}):
\dot Q_{\text{sense}} = 3{,}7778\times 4{,}18\times 14{,}7 \\ \mathrm{kJ/s} \approx 232{,}105\\ \mathrm{kJ/s}=232{,}105\\ \mathrm{W}\approx 232{,}1\\ \mathrm{kW}.
  • Calor de vaporização (toda a massa evaporada à temperatura do evaporador): \dot Q_{\text{evap}} = \dot m_{\text{evap}}\,\lambda_{2} = 3{,}0222\\ \mathrm{kg/s}\times 2387\\ \mathrm{kJ/kg}.
\dot Q_{\text{evap}} = 3{,}0222\times 2387\\ \mathrm{kJ/s}\approx 7{,}214{,}044\\ \mathrm{kJ/s}=7{,}214{,}044\\ \mathrm{W}\approx 7{,}214{,}0\\ \mathrm{kW}.
  • Calor total necessário (potência térmica requerida pelo evaporador simples): \dot Q_{\text{total}} = \dot Q_{\text{sense}} + \dot Q_{\text{evap}} \approx 232{,}105 + 7{,}214{,}044 = 7{,}446{,}149\\ \mathrm{W}.Ou seja aproximadamente 7446\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Cálculo da área do evaporador simples usando U e diferença de temperatura (parte a).
  • Na prática o vapor condensa praticamente à T_s (constante) e o fluido ferve à T_{2} (constante). A diferença de temperatura útil é praticamente: \Delta T = T_{s} - T_{2} = 170{,}4 - 52{,}7 = 117{,}7^\circ\mathrm{C}.
  • Fórmula da transferência de calor: \dot Q_{\text{total}} = U \, A \, \Delta T_{\text{lm}}.Aqui \Delta T_{\text{lm}} é o LMTD. No caso simples de uma superfície com o vapor a temperatura praticamente constante e o líquido a temperatura de ebulição praticamente constante, o LMTD é simplesmente \Delta T calculado acima.
  • Logo a área necessária: A = \frac{\dot Q_{\text{total}}}{U\,\Delta T} = \frac{7{,}446{,}149\\ \mathrm{W}}{2300\\ \mathrm{W/(m^{2}\,^\circ C)}\times 117{,}7\\ ^\circ\mathrm{C}}.Cálculo: U\,\Delta T = 2300\times 117{,}7 = 270{,}710\\ \mathrm{W/m^{2}},
A = \frac{7{,}446{,}149}{270{,}710}\approx 27{,}51\\ \mathrm{m^{2}}.
Comentário: área relativamente pequena graças ao valor alto de U.

Passo 6

Cálculo da economia do evaporador simples (parte a): massa de vapor externo necessário e relação (kg água evaporada / kg vapor).
  • Energia fornecida por kg de vapor saturado a 8\\ \mathrm{bar} (condensação) é \lambda_s (usei 2060\\ \mathrm{kJ/kg} = 2{,}060{,}000\\ \mathrm{J/kg}).
  • Vazão mássica de vapor externo necessária (em \mathrm{kg/s}): \dot m_s = \frac{\dot Q_{\text{total}}}{\lambda_s} = \frac{7{,}446{,}149\\ \mathrm{W}}{2{,}060{,}000\\ \mathrm{J/kg}} \approx 3{,}613\\ \mathrm{kg/s}.Converter para \mathrm{kg/h}: \dot m_s = 3{,}613\times 3600 \approx 13{,}006\\ \mathrm{kg/h}.
  • Economia (kg água evaporada por kg vapor): \text{economia}_{\text{simples}} = \frac{m_{\text{evap}}}{m_s} = \frac{10880\\ \mathrm{kg/h}}{13{,}006\\ \mathrm{kg/h}}\approx 0{,}836\\ \mathrm{kg\;evap/kg\;vapor}.Ou seja, cerca de 0{,}84\\ \mathrm{kg} de água evaporada por cada \mathrm{kg} de vapor fornecido. (Comentário: valor típico para efeito único quando o vapor está muito quente e o líquido de ebulição baixo, a economia é menor que 1 porque o calor latente do vapor a alta temperatura é menor que o calor necessário para vaporizar 1 kg à temperatura baixa do evaporador.)

Passo 7

Preparação para o duplo efeito (parte b): raciocínio e hipóteses.
Vou usar as seguintes hipóteses e justificativas, porque o enunciado não dá todos os detalhes de alimentação/scheme térmico:
  • A maior parte do calor necessário é o de vaporização; verificamos no Passo 4 que o aquecimento sensível ( \approx 232\\ \mathrm{kW}) é pequeno frente ao calor de vaporização ( \approx 7214\\ \mathrm{kW}) — cerca de 3\%. Por isso, para distribuir as cargas térmicas entre os dois efeitos e calcular áreas, é usual (e razoável nesta aproximação) primeiro considerar a carga de vaporização como a parcela principal. Vou então:
    • usar a energia de vaporização total (somatória das vaporações nos dois efeitos) como referência para dividir a carga entre efeitos;
    • tratar o aquecimento sensível como uma pequena correção concentrada preferencialmente no primeiro efeito (ou, de modo aproximado, adiciono essa potência ao balanço global depois). Para simplificar e manter a consistência com o Passo 4, subtraio o sensível para trabalhar inicialmente só com a carga de vaporização: \dot Q_{\text{lat}}=\dot Q_{\text{total}}-\dot Q_{\text{sense}}=\dot Q_{\text{evap}} \approx 7{,}214{,}044\\ \mathrm{W}.
  • Assumo que o vapor produzido no primeiro efeito é usado para aquecer/condensar no segundo efeito (arranjo usual em múltiplos efeitos). O vapor fornecido externamente (a 8\\ \mathrm{bar}) condensa no primeiro efeito a T_s. O segundo efeito ferve à temperatura dada T_{2}\approx 52{,}7^\circ\mathrm{C}. Entre T_s e T_{2} existe uma queda total de temperatura \Delta T_{\text{total}}=T_s-T_{2}.
  • O enunciado pede para assumir que as áreas nos dois efeitos são iguais: A_1=A_2=A. Com isso, existe uma forma prática e simples de dividir a queda total de temperatura entre os dois efeitos de modo que as trocas térmicas (Q) em cada efeito fiquem equilibradas quando as áreas são iguais: se repartirmos \Delta T_{\text{total}} de modo que \Delta T_1 = \Delta T_{\text{total}}\cdot\frac{U_2}{U_1+U_2},\qquad \Delta T_2 = \Delta T_{\text{total}}\cdot\frac{U_1}{U_1+U_2},então U_1\Delta T_1 = U_2\Delta T_2e, com A_1=A_2, resultará que Q_1 = U_1 A \Delta T_1 e Q_2 = U_2 A \Delta T_2 serão iguais: Q_1=Q_2=\tfrac{1}{2}\dot Q_{\text{lat}}. Essa repartição leva a cargas iguais nos dois efeitos e é uma escolha prática e comum quando as áreas por efeito são igualadas — é uma hipótese de projeto razoável e simplifica a solução. Vou adotá-la aqui (explico os cálculos concretos abaixo).
  • Após obter os Q de cada efeito e as áreas A, calcularei a economia global assumindo que cada kg de vapor externo condensa no primeiro efeito liberando \lambda_s; parte das vaporações geradas no primeiro efeito (com latent \lambda_1 correspondente à temperatura de ebulição do primeiro efeito) abastecerá o segundo efeito, etc. Na formula rápida para economia com dois efeitos (sob a hipótese de Q_1=Q_2) obtém-se: \text{economia}_{2\text{ef}} = \lambda_s\!\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\right),que vem de: por kg de vapor externo há liberação energia \lambda_s; essa energia gera m_1=\lambda_s/\lambda_1 kg de vapor no efeito 1 (evaporação à temperatura T_1) e esse vapor, ao ser usado no efeito 2, gera m_2=(\lambda_s-\text{perdas})/\lambda_2 — na hipótese simétrica Q_1=Q_2 e sem perdas, a expressão simplifica para a forma acima. Esta expressão dá o número de kg evaporados totais por kg de vapor externo. (Vou aplicar com os \lambda adequados.)
  • Observação: tudo isso é uma idealização (sem perdas, sem sub-resfriamento importante do condensado, sem economia de calor adicional). O objetivo aqui é mostrar passo a passo o método e obter valores consistentes numéricamente.

Passo 8

Cálculos numéricos para o duplo efeito (assumindo repartição de temperatura conforme explicado).
  • Primeiro calcule \Delta T_{\text{total}}:
    \Delta T_{\text{total}} = T_s - T_{2} = 170{,}4 - 52{,}7 = 117{,}7^\circ\mathrm{C}.
  • Faço a partição das quedas de temperatura de acordo com a regra
    \Delta T_1 = \Delta T_{\text{total}}\cdot\frac{U_2}{U_1+U_2}, \qquad \Delta T_2 = \Delta T_{\text{total}}\cdot\frac{U_1}{U_1+U_2}.
    Substituindo U_1=2550, U_2=2000:
    U_1+U_2 = 4550,
\Delta T_1 = 117{,}7\times\frac{2000}{4550}\approx 117{,}7\times 0{,}43956 \approx 51{,}72^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 117{,}7-51{,}72 = 65{,}98^\circ\mathrm{C}.
  • Com essa escolha, e com A_1=A_2=A, as potências de vaporização (parte latente) em cada efeito ficam iguais:
    \dot Q_{1,\text{lat}} = \dot Q_{2,\text{lat}} = \frac{\dot Q_{\text{lat}}}{2} = \frac{7{,}214{,}044}{2} = 3{,}607{,}022\\ \mathrm{W}.
  • Agora calculo a área por efeito usando \dot Q_i = U_i\,A\,\Delta T_i (estou usando apenas a parcela latente para dividir e, dada a pequena parcela sensível, isso é consistente; a pequena contribuição sensível poderia ser adicionada ao primeiro efeito sem alterar muito os resultados).
    A = \frac{\dot Q_{1,\text{lat}}}{U_1 \Delta T_1} = \frac{3{,}607{,}022}{2550\times 51{,}72}.
    Cálculo:
    2550\times 51{,}72 = 131{,}886\\ (\mathrm{W/m^{2}}).
A \approx \frac{3{,}607{,}022}{131{,}886}\approx 27{,}34\\ \mathrm{m^{2}}.
Então cada efeito precisa de aproximadamente 27{,}34\\ \mathrm{m^{2}}. (Nota: esse valor é muito próximo da área do efeito único calculada anteriormente; no sistema de dois efeitos a soma total de área é o dobro, A_{\text{total}}=2A\approx 54{,}68\\ \mathrm{m^{2}}.)

Passo 9

Cálculo da economia global do duplo efeito (parte b), usando a fórmula prática e os calores latentes apropriados.
  • Primeiro preciso estimar o calor latente correspondente ao primeiro efeito, que ocorre a uma temperatura intermediária T_1. A temperatura de aquecimento do primeiro efeito é:
    T_1 = T_s - \Delta T_1 = 170{,}4 - 51{,}72 \approx 118{,}68^\circ\mathrm{C}.
    Procuro na tabela de vapor o valor aproximado de \lambda_1 (hfg à 118{,}7^\circ\mathrm{C}); um valor razoável de tabela é aproximadamente
    \lambda_1\approx 2100\\ \mathrm{kJ/kg} = 2{,}100{,}000\\ \mathrm{J/kg}.
    (Interpretação: o calor latente decresce com a temperatura, então \lambda_1<\lambda_2.)
  • Já tenho \lambda_2\approx 2387\\ \mathrm{kJ/kg} (do Passo 3) e \lambda_s\approx 2060\\ \mathrm{kJ/kg} (vapor a 8\\ \mathrm{bar}).
  • Usando a expressão apresentada para economia (caso simétrico Q_1=Q_2):
    \text{economia}_{2\text{ef}} = \lambda_s\!\left(\frac{1}{\lambda_1}+\frac{1}{\lambda_2}\right).
    Substituindo (em kJ/kg para facilidade):
    \text{economia}_{2\text{ef}} \approx 2060\left(\frac{1}{2100}+\frac{1}{2387}\right).
    Calculo das parcelas:
    \frac{1}{2100}\approx 0{,}00047619,\qquad \frac{1}{2387}\approx 0{,}00041885,
    soma \approx 0{,}00089504.
    \text{economia}_{2\text{ef}} \approx 2060\times 0{,}00089504 \approx 1{,}84\\ \mathrm{kg\;evap/kg\;vapor}.
    Comentário: isso significa que, com dois efeitos idealizados e a repartição adotada, cada kg de vapor externo permite evaporar aproximadamente 1{,}84\\ \mathrm{kg} de água — um ganho considerável frente ao caso de um único efeito (onde a economia foi 0{,}836).

Passo 10

Resumo final / verificação rápida de consistência numérica.
  • Área do evaporador simples: 27{,}51\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Economia do evaporador simples: 0{,}836\\ \mathrm{kg\;evap/kg\;vapor}.
  • Para o duplo efeito (assumindo áreas iguais e repartição de \Delta T conforme U):
    • \Delta T_1\approx 51{,}72^\circ\mathrm{C}, \Delta T_2\approx 65{,}98^\circ\mathrm{C}.
    • Área por efeito (assumida igual): A_1=A_2\approx 27{,}34\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Área total (soma dos dois efeitos): \approx 54{,}68\\ \mathrm{m^{2}}.
    • Economia global aproximada: 1{,}84\\ \mathrm{kg\;evap/kg\;vapor}.
Observações finais sobre precisão e hipóteses:
  • Usei valores de calores latentes obtidos por leitura/interpolação em tabela de vapor; substituições por tabelas mais exatas mudariam os resultados ligeiramente.
  • Na partição do duplo efeito assumi divisão de \Delta T proporcional a U de modo a obter cargas iguais em cada efeito — é uma escolha prática e comum quando se fixam áreas iguais. Outros critérios de projeto poderiam dar A ligeiramente diferentes.
  • O aquecimento sensível foi incluído no caso de efeito único. Para o duplo efeito tratei a chamada carga latente principal e adotei a hipótese de que o sensível é pequeno (e poderia ser alocado preferencialmente ao primeiro efeito), o que introduz apenas uma pequena correção nos resultados numéricos (da ordem de poucos por cento).

Resposta

(a) Área A \approx 27{,}51\\ \mathrm{m^{2}} ; economia \approx 0{,}836\\ \mathrm{kg\;evap/kg\;vapor}.
(b) Área por efeito A_1=A_2 \approx 27{,}34\\ \mathrm{m^{2}} (área total \approx 54{,}68\\ \mathrm{m^{2}}) ; economia global \approx 1{,}84\\ \mathrm{kg\;evap/kg\;vapor}.

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