Usa-se um evaporador simples (para o qual \mathrm{U}=1700 \mathrm{~J} / \mathrm{s} . \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) para concentrar 250 \mathrm{kg} / \mathrm{h} de uma solução de sólido a 20^{\circ} \mathrm{C} desde 10 \% (em massa) até 30 \% (em massa). A pressão no evaporador é de 70,14 \mathrm{kPa} e têm-se disponível vapor de aquecimento a 300 kPa (absoluto). Admita que as propriedades da solução são aproximadamente iguais às da água nas mesmas condições de temperatura e que a elevação no ponto de ebulição é desprezível. Calcule:
a. A vazão mássica da solução concentrada produzida (L) em kg/s;
b. A temperatura ( \mathrm{T}_{\mathrm{s}} ) do vapor de aquecimento;
c. A vazão mássica de vapor (S) empregada no processo;
d. O fluxo de calor (Q), fornecido à solução;
e. A área da superfície de aquecimento;
f. A economia no evaporador (V/S);

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede, pegando cada número que precisamos usar:
  • Vazão de alimentação: F=250\\ \mathrm{kg/h} (solução a 20^\circ\mathrm{C} e com 10\% em massa de sólido).
  • Fração mássica de sólido na alimentação: x_F=0{,}10.
  • Fração mássica de sólido no concentrado (produto): x_L=0{,}30.
  • Pressão no evaporador (pressão de ebulição da solução): p_{\text{evap}}=70{,}14\\ \mathrm{kPa}.
  • Vapor de aquecimento disponível a pressão: p_{\text{vap}}=300\\ \mathrm{kPa} (absoluto) — queremos a temperatura saturada desse vapor.
  • Constante global de filme (coeficiente de troca térmica): U=1700\\ \mathrm{J}/(\mathrm{s}\cdot\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
  • Suposições dadas: propriedades da solução ≈ propriedades da água (usar c_p da água) e elevação do ponto de ebulição desprezível (isto é, a temperatura de ebulição corresponde à temperatura de saturação da água à pressão do evaporador).
  • O enunciado pede:
    (a) vazão mássica da solução concentrada L em \mathrm{kg/s};
    (b) temperatura do vapor de aquecimento T_s;
    (c) vazão mássica de vapor empregado S (em \mathrm{kg/s});
    (d) fluxo de calor Q fornecido à solução (em W ou kW);
    (e) área da superfície de aquecimento A (em \mathrm{m}^2);
    (f) economia no evaporador V/S (onde V é a vazão mássica de vapor gerado).

Passo 2

Massa sólida e balanço de massa para obter L e V.
Explicação didática rápida: em um evaporador sem perdas de sólidos, a massa de sólido que entra iguala a massa de sólido que sai. Então usamos a conservação de massa total e a conservação da massa do soluto (sólidos) para achar as vazões.
Dados convertidos para unidades base:
F=\frac{250}{3600}\\ \mathrm{kg/s} = 0{,}069444\ldots\\ \mathrm{kg/s}.
Balanço de sólidos:
F x_F = L x_L.
Isolando L:
L = F\frac{x_F}{x_L}.
Substituindo:
L = \left(\frac{250}{3600}\right)\frac{0{,}10}{0{,}30} = \frac{250}{3600}\cdot\frac{1}{3}.
Calcule:
L = \frac{250}{10800}\\ \mathrm{kg/s} = 0{,}023148\\ \mathrm{kg/s}.
Vazão de vapor gerado V (balanço total de massa):
V = F - L.
Substituindo:
V = \frac{250}{3600} - 0{,}023148 = 0{,}046296\\ \mathrm{kg/s}.
(Até aqui: já obtemos a letra (a) pedida.)

Passo 3

Determinar a temperatura de ebulição da solução (temperatura de evaporação) e a temperatura do vapor de aquecimento T_s.
Explicação didática: a solução ferve à temperatura de saturação da água à pressão do evaporador. A temperatura do vapor de aquecimento, assumindo vapor saturado, é a temperatura de saturação da água à pressão 300\\ \mathrm{kPa}. Esses dados normalmente são obtidos em tabelas de vapor saturado (tabelas termodinâmicas).
  • Da tabela de vapor saturado: à pressão p_{\text{evap}}=70{,}14\\ \mathrm{kPa} corresponde aproximadamente a uma temperatura de saturação
T_{\text{evap}} \approx 90{,}0^\circ\mathrm{C}.
(Esse valor vem da tabela de água saturada: a pressão de saturação a 90{,}0^\circ\mathrm{C} é aproximadamente 70{,}1\\ \mathrm{kPa}.)
  • Da tabela de vapor saturado: à pressão p_{\text{vap}}=300\\ \mathrm{kPa} corresponde aproximadamente a
T_s \approx 133{,}6^\circ\mathrm{C}.
(Essa é a temperatura de saturação da água a 300\\ \mathrm{kPa}.)
Portanto já respondemos a letra (b): T_s\approx 133{,}6^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Energia necessária: expressão do balanço de energia no evaporador e as hipóteses sobre calor específico e entalpias.
Explicação didática: o calor fornecido pelo condensado do vapor aquece toda a alimentação desde 20^\circ\mathrm{C} até a temperatura de ebulição T_{\text{evap}} e ainda fornece a entalpia de vaporização para evaporar a porção V. Assim o calor total necessário é:
Q = F c_p (T_{\text{evap}} - T_{\text{in}}) + V h_{fg,\text{evap}},
onde
  • c_p é o calor específico da solução (assumimos o da água),
  • h_{fg,\text{evap}} é a entalpia de vaporização (latente) da água à temperatura de evaporação.
Valores a usar (hipótese didática, comuns em problemas): c_p = 4{,}18\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (ou 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).
Para h_{fg} usarei uma correlação aproximada (linha reta razoável no intervalo de interesse) baseada em tabelas:
h_{fg}(T)\approx 2501 - 2{,}326\;T\quad\text{(kJ/kg, com \(T\) em \(^\circ\mathrm{C}\))},
que dá valores bem próximos aos das tabelas saturadas nesta faixa. Vou aplicar essa correlação para a entalpia de vaporização à temperatura de evaporação e também para a entalpia liberada ao condensar o vapor de aquecimento.
Calcule h_{fg} à temperatura de evaporação T_{\text{evap}}=90{,}0^\circ\mathrm{C}:
h_{fg,\text{evap}} \approx 2501 - 2{,}326\cdot 90 = 2501 - 209{,}34 = 2291{,}66\\ \mathrm{kJ/kg}.
Calcule h_{fg} do vapor de aquecimento (condensação) à temperatura T_s=133{,}6^\circ\mathrm{C}:
h_{fg,\text{vap}} \approx 2501 - 2{,}326\cdot 133{,}6 = 2501 - 310{,}4 \approx 2190{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora calcule as parcelas do balanço de energia (em \mathrm{kW} ou \mathrm{kJ/s}). Converta vazões para \mathrm{kg/s} (já temos) e use c_p em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
Senso prático (passo a passo nos cálculos):
F=\frac{250}{3600}=0{,}069444\\ \mathrm{kg/s},\qquad V=0{,}046296\\ \mathrm{kg/s}.
Sensible heating (aquecimento da alimentação de 20^\circ\mathrm{C} a 90^\circ\mathrm{C}):
Q_{\text{sensible}} = F c_p (T_{\text{evap}} - T_{\text{in}}) =0{,}069444\cdot 4{,}18\cdot (90-20).
Calcule:
T_{\text{evap}}-T_{\text{in}}=70\\ \mathrm{K},\qquad Q_{\text{sensible}}=0{,}069444\cdot 4{,}18\cdot 70 \approx 20{,}32\\ \mathrm{kW}.
Latente (evaporação):
Q_{\text{latente}} = V\;h_{fg,\text{evap}} = 0{,}046296\cdot 2291{,}66\\ \mathrm{kJ/s}\approx 106{,}10\\ \mathrm{kW}.
Total:
Q = Q_{\text{sensible}} + Q_{\text{latente}} \approx 20{,}32 + 106{,}10 = 126{,}42\\ \mathrm{kW}.
Isso responde a letra (d): Q\approx 126{,}4\\ \mathrm{kW} (ou 126{,}400\\ \mathrm{W}).

Passo 5

Determinar a vazão mássica de vapor de aquecimento S a partir do balanço de energia no trocador (considerando vapor saturado que condensa com liberação de h_{fg,\text{vap}}).
Explicação didática: cada kg de vapor que condensa libera aproximadamente h_{fg,\text{vap}} energia (latente na condensação). Portanto:
S = \frac{Q}{h_{fg,\text{vap}}}
onde Q em \mathrm{kJ/s} e h_{fg,\text{vap}} em \mathrm{kJ/kg}.
Substituindo:
S = \frac{126{,}42\\ \mathrm{kJ/s}}{2190{,}6\\ \mathrm{kJ/kg}} \approx 0{,}0577\\ \mathrm{kg/s}.
Convertendo para \mathrm{kg/h} (se quiser verificar): S\cdot 3600\approx 207{,}8\\ \mathrm{kg/h}.
Isso responde a letra (c): S\approx 0{,}0577\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 6

Calcular a área da superfície de aquecimento A.
Explicação didática: para um evaporador simples com vapor saturado, a diferença de temperatura do lado quente é aproximadamente constante e igual a T_s - T_{\text{evap}}. Para calor sensível de condensação num filme, podemos aproximar o LMTD por essa diferença constante. A lei de resfriamento é:
Q = U A \Delta T,
onde \Delta T = T_s - T_{\text{evap}} e U está em \mathrm{W}/(\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}).
Usando os valores:
\Delta T = 133{,}6 - 90{,}0 = 43{,}6^\circ\mathrm{C}.
(usar um ou dois algarismos depende de arredondamento; aqui mantemos 43{,}6^\circ\mathrm{C}.)
Converter Q para W: Q=126{,}42\\ \mathrm{kW}=126{,}420\\ \mathrm{W}.
Calcule a área:
A = \frac{Q}{U\Delta T} = \frac{126{,}420}{1700\cdot 43{,}6} .
Compute o denominador: 1700\cdot 43{,}6 = 74{,}120\\ \mathrm{W/m}^2.
Então
A \approx \frac{126{,}420}{74{,}120}\approx 1{,}705\\ \mathrm{m}^2.
Arredondando razoavelmente: A\approx 1{,}71\\ \mathrm{m}^2.
Isso responde a letra (e).

Passo 7

Calcular a economia no evaporador V/S.
Explicação didática: a economia é definida como a massa de vapor evaporado por unidade de massa de vapor de aquecimento consumida:
\text{economia} = \frac{V}{S}.
Já temos V=0{,}046296\\ \mathrm{kg/s} e S=0{,}0577\\ \mathrm{kg/s}.
Calcule:
\frac{V}{S} = \frac{0{,}046296}{0{,}0577}\approx 0{,}802.
Interpretação rápida: V/S\approx 0{,}80 significa que cada quilograma de vapor de aquecimento permite evaporar cerca de 0{,}80\\ \mathrm{kg} de água da solução. É comum em um único efeito a economia ser menor que 1 quando se inclui o aquecimento da alimentação.

Resposta

L=0{,}023148\\ \mathrm{kg/s}
T_s\approx 133{,}6^\circ\mathrm{C}
S\approx 0{,}0577\\ \mathrm{kg/s}
Q\approx 126{,}4\\ \mathrm{kW}
A\approx 1{,}71\\ \mathrm{m}^2
V/S\approx 0{,}802

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