Uma solução aquosa de colóides ( \mathrm{C}_{\mathrm{P}}=3,8 \mathrm{~kJ} / \mathrm{K} . \mathrm{kg} ) com 25000 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de vazão é concentrada por evaporação desde 0,1 até 0,5 (frações mássicas). Esta solução entra no evaporador a 20^{\circ} \mathrm{C} e apresenta uma elevação no ponto de ebulição (EPE) de cerca de 20 \% em relação à temperatura de ebulição da água pura. A pressão no interior do evaporador é de 12,35 \mathrm{kPa} e o coeficiente global de transferência de calor é \mathrm{U}=10050 \mathrm{~kJ} /\left(\mathrm{h} . \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right). O vapor usado para aquecimento é fornecido saturado à temperatura de 120^{\circ} \mathrm{C}. Calcule:
a. A vazão mássica da solução concentrada produzida (L) em kg/s;
b. A entalpia do vapor superaquecido produzido no evaporador em kJ/kg;
c. O fluxo de calor (Q), fornecido à solução;
d. A área da superfície de aquecimento;
e. A vazão mássica de vapor (S) empregada no processo;
OBS: considere que o valor de \mathrm{C}_{\mathrm{p}} fornecido também é válido para a solução concentrada. \mathrm{T}(\mathrm{K})=\mathrm{T}\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)+273,15

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (não resolvo nada ainda).
  • Dados numéricos importantes fornecidos:
    • Vazão da solução de alimentação: F=25000\\ \mathrm{kg/h}.
    • Fração mássica de soluto na alimentação: x_F=0,1.
    • Fração mássica de soluto no produto concentrado: x_L=0,5.
    • Calor específico da solução (válido também para o concentrado): C_p=3{,}8\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.
    • Temperatura de entrada da solução: T_{\text{in}}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Elevação do ponto de ebulição (EPE): 20\% em relação à temperatura de ebulição da água pura à pressão do evaporador.
    • Pressão no interior do evaporador: p=12{,}35\\ \mathrm{kPa}.
    • Coeficiente global de transferência de calor: U=10050\\ \mathrm{kJ/(h\cdot m^2\cdot K)}.
    • Vapor de aquecimento fornecido saturado a 120^\circ\mathrm{C}.
  • O que o enunciado pede:
    a) A vazão mássica da solução concentrada produzida L em \mathrm{kg/s}.
    b) A entalpia do vapor superaquecido produzido no evaporador (em \mathrm{kJ/kg}).
    c) O fluxo de calor Q fornecido à solução (unidade a indicar).
    d) A área da superfície de aquecimento A (em \mathrm{m^2}).
    e) A vazão mássica de vapor de aquecimento S empregada no processo (em \mathrm{kg/s} ou \mathrm{kg/h}).
  • Observações/valores que vou usar (assunções explícitas):
    • Pela tabela de vapor, a temperatura de saturação da água à pressão p=12{,}35\\ \mathrm{kPa} é aproximadamente 50^\circ\mathrm{C}. Vou chamar isso de T_{\text{sat,pura}}=50^\circ\mathrm{C}.
    • Com EPE de 20\% relativo a 50^\circ\mathrm{C}, a temperatura de ebulição da solução será T_b = 1{,}20\cdot 50^\circ\mathrm{C} = 60^\circ\mathrm{C}.
    • Para propriedades do vapor superaquecido vou assumir calor específico do vapor c_{p,v}\approx 1{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (valor típico) e usar correção por superaquecimento linear.
    • Para variaçãο do calor latente com a temperatura vou usar a correlação de Watson (explicarei no passo apropriado).
    • Vou manter as unidades consistentes com os dados: trabalharei primariamente em \mathrm{kJ} e \mathrm{kg} e usarei \mathrm{kJ/h} quando conveniente (pois U está em \mathrm{kJ/(h\cdot m^2\cdot K)}). No final converto para \mathrm{kg/s} ou \mathrm{kW} quando solicitado.

Passo 2

Balanceamento de massa para achar a vazão do produto concentrado L.
  • Como o soluto não evapora, a massa de soluto se conserva: F x_F = L x_L.
  • Isolando L: L=\frac{F x_F}{x_L}.
  • Substituindo os valores (tudo em \mathrm{kg/h}): L=\frac{25000\cdot 0{,}1}{0{,}5}=25000\cdot 0{,}2=5000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Converter para \mathrm{kg/s}: L=\frac{5000}{3600}=1{,}388888\ldots\\ \mathrm{kg/s}\approx 1{,}3889\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

Determinar a vazão mássica de vapor formado no evaporador (vapor gerado pelo processo), que vou denotar por V (será útil depois).
  • Balanço global de massa (em regime estacionário): F = L + V \quad\Rightarrow\quad V = F - L.
  • Em \mathrm{kg/h}: V = 25000 - 5000 = 20000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Em \mathrm{kg/s}: V=\frac{20000}{3600}=5{,}555555\ldots\\ \mathrm{kg/s}\approx 5{,}5556\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Calcular a entalpia do vapor superaquecido produzido no evaporador (item b). Estratégia: obter a entalpia do vapor a partir da entalpia do vapor saturado na pressão do evaporador (saturado à T_{\text{sat,pura}}=50^\circ\mathrm{C}) e adicionar o acréscimo devido ao superaquecimento até T_b=60^\circ\mathrm{C}.
  1. Calcular o calor latente da água próximo à temperatura de interesse usando a correlação de Watson:
    • A correlação de Watson para o calor latente é h_{fg}(T)=h_{fg,\mathrm{ref}}\left(\frac{T_c-T}{T_c-T_{\mathrm{ref}}}\right)^{n},onde T_c é a temperatura crítica da água ( T_c\approx 647{,}096\\ \mathrm{K}), T_{\mathrm{ref}}=373{,}15\\ \mathrm{K} (100°C) e h_{fg,\mathrm{ref}}=2257\\ \mathrm{kJ/kg}. Um expoente típico é n\approx 0{,}38.
    • Para T=50^\circ\mathrm{C}=323{,}15\\ \mathrm{K}: \begin{aligned} \text{fator} &= \frac{T_c - T}{T_c - T_{\mathrm{ref}}} =\frac{647{,}096-323{,}15}{647{,}096-373{,}15} =\frac{323{,}946}{273{,}946}\approx 1{,}18272,\\\ h_{fg}(50^\circ\mathrm{C}) &= 2257\cdot (1{,}18272)^{0{,}38}\approx 2257\cdot 1{,}0660\approx 2406{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}. \end{aligned}
  2. Entalpia da fase líquida (referência 0°C) na saturação a 50^\circ\mathrm{C}:
    • Usando C_p da solução =3{,}8\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} (o enunciado disse que vale também para o concentrado), a entalpia do líquido relativo a 0^\circ\mathrm{C} é aproximada por h_{f}(50^\circ\mathrm{C}) \approx C_p\cdot 50 = 3{,}8\cdot 50 = 190\\ \mathrm{kJ/kg}.
  3. Entalpia do vapor saturado à 50^\circ\mathrm{C}:
    h_{g,\mathrm{sat}}(50^\circ\mathrm{C}) = h_f(50^\circ\mathrm{C}) + h_{fg}(50^\circ\mathrm{C}) \approx 190 + 2406{,}7 = 2596{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
  4. Superaquecimento até 60^\circ\mathrm{C}: a temperatura de saturacão à pressão interna é 50^\circ\mathrm{C}, mas a solução ferve a 60^\circ\mathrm{C} (EPE), então o vapor à 60^\circ\mathrm{C} está superaquecido em \Delta T = 10\\ \mathrm{K}.
    • Aproximação sensata: adicionar c_{p,v}\Delta T com c_{p,v}\approx 1{,}9\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}: h_{\text{vapor,superaquecido}} \approx h_{g,\mathrm{sat}}(50^\circ\mathrm{C}) + c_{p,v}\cdot (60-50).
    • Numericamente: h_v \approx 2596{,}7 + 1{,}9\cdot 10 = 2596{,}7 + 19 = 2615{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}.
Portanto a entalpia do vapor superaquecido produzido no evaporador é aproximadamente 2615{,}7\\ \mathrm{kJ/kg} (arredondarei nas respostas).

Passo 5

Energia (fluxo de calor) necessária ao evaporador: balanço de energia integral.
  • Usarei a equação de balanço de energia (estado estacionário, sem trabalho e sem acumulação):
    Q + F h_F = L h_L + V h_v,
    onde h_F, h_L e h_v são as entalpias específicas (referência arbitrária comum, aqui usei referência 0^\circ\mathrm{C} através de C_p\cdot T para líquidos).
  • Rearranjando:
    Q = L h_L + V h_v - F h_F.
  • Calcular cada entalpia (usando C_p=3{,}8\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} para os líquidos e o valor h_v obtido no passo anterior):
    \begin{aligned} h_F &= C_p\cdot T_{\text{in}} = 3{,}8\cdot 20 = 76\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ h_L &= C_p\cdot T_b = 3{,}8\cdot 60 = 228\\ \mathrm{kJ/kg},\\\ h_v &\approx 2615{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}\quad\text{(do passo anterior)}. \end{aligned}
  • Lembrando L=5000\\ \mathrm{kg/h}, V=20000\\ \mathrm{kg/h}, F=25000\\ \mathrm{kg/h}, calculo Q em \mathrm{kJ/h}:
    \begin{aligned} L h_L &= 5000\cdot 228 = 1\,140\,000\\ \mathrm{kJ/h},\\\ V h_v &= 20000\cdot 2615{,}7 = 52\,314\,000\\ \mathrm{kJ/h},\\\ F h_F &= 25000\cdot 76 = 1\,900\,000\\ \mathrm{kJ/h}. \end{aligned}
    Logo
    Q = 1\,140\,000 + 52\,314\,000 - 1\,900\,000 = 51\,554\,000\\ \mathrm{kJ/h}.
  • Converter para \mathrm{kW} (ou \mathrm{kJ/s}): 1\\ \mathrm{kW}=1\\ \mathrm{kJ/s} e 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}, então
    Q = \frac{51\,554\,000}{3600}\\ \mathrm{kJ/s}\approx 14\,320{,}6\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Cálculo da área de transferência de calor A (item d).
  • Fórmula básica: Q = U \, A \, \Delta T_{\mathrm{LM}},onde \Delta T_{\mathrm{LM}} é a diferença de temperatura logarítmica média. No caso de vapor saturado (temperatura praticamente constante) condensando a T_{\mathrm{steam}}=120^\circ\mathrm{C} e o lado de solução em ebulição a T_b=60^\circ\mathrm{C}, a diferença de temperatura é constante: \Delta T_1 = \Delta T_2 = 120 - 60 = 60\\ \mathrm{K},de modo que \Delta T_{\mathrm{LM}} = 60\\ \mathrm{K}.
  • Isolando A: A = \frac{Q}{U\cdot \Delta T_{\mathrm{LM}}}.
  • Use Q em \mathrm{kJ/h} e U em \mathrm{kJ/(h\cdot m^2\cdot K)} (coerente com unidades dadas): A = \frac{51\,554\,000}{10050\cdot 60}.
  • Calcular: 10050\cdot 60 = 603000,
A = \frac{51\,554\,000}{603000}\approx 85{,}50\\ \mathrm{m^2}.

Passo 7

Cálculo da vazão mássica de vapor de aquecimento S empregada (item e).
  • O vapor de aquecimento é fornecido saturado a 120^\circ\mathrm{C}. Ao condensar, libera seu calor latente h_{fg} na temperatura de 120^\circ\mathrm{C}.
  • Usarei a correlação de Watson para estimar h_{fg} em 120^\circ\mathrm{C} (mesmo procedimento do passo 4): \text{fator}_{120}=\frac{647{,}096 - 393{,}15}{647{,}096 - 373{,}15}\approx 0{,}92714,
h_{fg}(120^\circ\mathrm{C}) = 2257\cdot (0{,}92714)^{0{,}38}\approx 2257\cdot 0{,}9716 \approx 2193{,}2\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • A quantidade de calor liberada por kg de vapor de aquecimento condensado é aproximadamente h_{fg}(120^\circ\mathrm{C}) (ignorando o aquecimento adicional do condensado se este for retirado na temperatura de saturação; se o condensado sair a 120^\circ\mathrm{C} sua entalpia líquida já está incluída na conta porque usamos h_{fg}).
  • Assim a vazão mássica de vapor de aquecimento em \mathrm{kg/h} é S_{\mathrm{(kg/h)}} = \frac{Q}{h_{fg}(120^\circ\mathrm{C})} = \frac{51\,554\,000}{2193{,}2}\approx 23506{,}3\\ \mathrm{kg/h}.
  • Converter para \mathrm{kg/s}: S_{\mathrm{(kg/s)}} = \frac{23506{,}3}{3600}\approx 6{,}5295\\ \mathrm{kg/s}\approx 6{,}53\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

a. L=1{,}3889\\ \mathrm{kg/s}
b. h_{\text{vapor produz.}}\approx 2615{,}7\\ \mathrm{kJ/kg}
c. Q=51\,554\,000\\ \mathrm{kJ/h}\approx 14\,320{,}6\\ \mathrm{kW}
d. A\approx 85{,}50\\ \mathrm{m^2}
e. S\approx 6{,}53\\ \mathrm{kg/s} ( \approx 23\,506\\ \mathrm{kg/h} )

Exercícios relacionados