Dispomos de 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma mistura que contém 60 \% de metilciclohexano e 40 \% de h-heptano e 50 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de uma outra mistura que contém 20% de metilciclohexano e 80% de n-heptano. Estas duas cargas são misturadas com 200 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} de anilina pura e um único estágio de equilíbrio. Pergunta-se:
a) Qual será a composição das correntes que deixam o estágio?
b) Qual será a vazão do produto extrato?

Passo 1

O enunciado dá três correntes que são misturadas e pede a composição das correntes que saem de um único estágio de equilíbrio e a vazão do produto extrato. Dados fornecidos (vou listar com calma para não nos perder):
  • Corrente 1: vazão 100\\ \mathrm{kg/h} com 60\% metilciclohexano (vou chamar de componente A) e 40\% n-heptano (componente B). Logo nela há 100\\ \mathrm{kg/h}\times 0{,}60 = 60\\ \mathrm{kg/h}\\ \text{de }A,
100\\ \mathrm{kg/h}\times 0{,}40 = 40\\ \mathrm{kg/h}\\ \text{de }B.
  • Corrente 2: vazão 50\\ \mathrm{kg/h} com 20\% de A e 80\% de B. Logo nela há 50\\ \mathrm{kg/h}\times 0{,}20 = 10\\ \mathrm{kg/h}\\ \text{de }A,
50\\ \mathrm{kg/h}\times 0{,}80 = 40\\ \mathrm{kg/h}\\ \text{de }B.
  • Corrente 3: 200\\ \mathrm{kg/h} de anilina pura (vou chamar de componente S, o solvente). Então há 200\\ \mathrm{kg/h} de S.
Perguntas:
a) Qual será a composição das correntes que deixam o estágio (ou seja: composição do extrato e da raffinate)?
b) Qual será a vazão do produto extrato?
Observação: até aqui só organizei os dados. Não comecei a resolver o equilíbrio — isso vem nos próximos passos.

Passo 2

Vamos somar as duas correntes hidrocarbonadas (1 e 2) para ter o “alimentador de hidrocarbonetos” antes da mistura com o solvente:
  • Total de hidrocarbonetos (feed F): F = 100 + 50 = 150\\ \mathrm{kg/h}.
  • Total de A (metilciclohexano) vindo das duas correntes: F_A = 60 + 10 = 70\\ \mathrm{kg/h}.
  • Total de B (n-heptano) vindo das duas correntes: F_B = 40 + 40 = 80\\ \mathrm{kg/h}.
  • Solvente S: F_S = 200\\ \mathrm{kg/h}.
A corrente total que entra no estágio tem vazão:
F_\text{total} = F + F_S = 150 + 200 = 350\\ \mathrm{kg/h}.
Esses números ( F_A=70, F_B=80, F_S=200, F_\text{total}=350 ) são os inventários iniciais que usaremos nas contas de balanço.

Passo 3

Agora vamos escrever os balanços de matéria que valem para um estágio de extração líquido–líquido em regime estacionário. Após o equilíbrio teremos duas correntes de saída:
  • Raffinate (fase rica em hidrocarbonetos) com vazão R e frações mássicas x_A^R,\\ x_B^R,\\ x_S^R.
  • Extract (fase rica em solvente) com vazão E e frações mássicas x_A^E,\\ x_B^E,\\ x_S^E.
Equações de conservação:
  1. Balanço total de massa:
F_\text{total} = R + E \quad\Rightarrow\quad 350 = R + E.
  1. Balanços de componente (usando fluxos mássicos):
F_A = R\,x_A^R + E\,x_A^E,
F_B = R\,x_B^R + E\,x_B^E,
F_S = R\,x_S^R + E\,x_S^E.
  1. As frações mássicas em cada fase somam 1:
x_A^R + x_B^R + x_S^R = 1,\qquad x_A^E + x_B^E + x_S^E = 1.
Essas equações são as que precisamos satisfazer. Repare que temos incógnitas R,E e seis frações x_i^j (total 8 incógnitas). Mas temos só 5 equações independentes (1 total + 3 componentes + 2 somas = 6, mas uma é redundante porque somando os balanços de componente dá o balanço total). Portanto precisamos de informações de equilíbrio entre as fases para poder fechar o problema.

Passo 4

Explicando a parte de equilíbrio (a teoria essencial, com calma):
  • Um estágio de extração dá origem a duas fases em equilíbrio. O equilíbrio fornece uma relação entre as composições da fase rica em solvente e da fase rica em hidrocarboneto. Essa relação é chamada curva de equilíbrio (ou conjunto de tie-lines) para o sistema ternário A B S.
  • Matematicamente, a condição de equilíbrio pode ser expressa de várias formas. Duas formas comuns (dependendo dos dados disponíveis) são:
    • Curva de equilíbrio: x_A^E = f(x_A^R) (i.e., a fração mássica de A na fase extrato é uma função da fração de A na raffinate). Essa função é obtida experimentalmente.
    • Coeficiente de partição (aproximação linear): \displaystyle K_A=\frac{x_A^E}{x_A^R} (constante de distribuição de A entre fases), e similar para B e S. Essa aproximação às vezes é usada se K é relativamente constante, mas nem sempre é válida para sistemas líquidos imiscíveis.
  • Sem pelo menos uma relação de equilíbrio do tipo acima (uma curva ou valores de K para os componentes), não é possível obter numericamente x_i^R,\\ x_i^E nem E e R. Ou seja, os balanços de massa sozinhos não fecham o problema.

Passo 5

Vou mostrar a forma prática e direta de usar os balanços quando a relação de equilíbrio x_A^E=f(x_A^R) estiver disponível — assim você sabe exatamente o que fazer na prova quando o professor te der a curva ou os K:
Partimos do balanço de A:
F_A = R\,x_A^R + E\,x_A^E.
Substituindo R = F_\text{total} - E = 350 - E, obtemos
F_A = (350 - E)\,x_A^R + E\,x_A^E.
Isolando E:
\boxed{E = \frac{F_A - 350\,x_A^R}{x_A^E - x_A^R}.}
Isto é importante: para qualquer valor viável de x_A^R que satisfaça equilíbrio (ou seja, para cada ponto na curva de equilíbrio), essa fórmula dá a vazão de extrato E. Note que a fórmula exige conhecer x_A^E em função de x_A^R (a curva de equilíbrio).
Depois de encontrar E, obtemos R = 350 - E. Em seguida as outras composições podem ser obtidas a partir dos balanços de B e S:
x_B^R = \frac{F_B - E\,x_B^E}{R},\qquad x_S^R = 1 - x_A^R - x_B^R,
x_B^E = \frac{F_B - R\,x_B^R}{E},\qquad x_S^E = 1 - x_A^E - x_B^E.
Na prática, com a curva de equilíbrio você escolhe (ou determina) x_A^R, calcula x_A^E=f(x_A^R), aplica a fórmula para E, e verifica consistência com os balanços de B e S. Se o sistema estiver bem comportado haverá uma solução consistente.

Passo 6

Comentário sobre formas alternativas (casos simplificados que às vezes aparecem em provas):
  • Se o professor der coeficientes de partição aproximados (constantes) K_A e K_B, então x_A^E = K_A x_A^R e x_B^E = K_B x_B^R. Substituindo na fórmula do Passo 5:
    E = \frac{F_A - 350\,x_A^R}{K_A x_A^R - x_A^R} = \frac{F_A - 350\,x_A^R}{(K_A-1)x_A^R}.
    Nesse caso nós ainda precisamos escolher ou resolver para x_A^R — muitas vezes combina-se esse resultado com o balanço de B para obter uma equação que determina x_A^R de forma única. Mas, de novo, isso precisa dos valores numéricos de K ou de uma curva de equilíbrio.
  • Uma simplificação extra: se o solvente praticamente não solubiliza B (i.e., x_B^E\approx 0), então o balanço de B simplifica para F_B \approx R x_B^R, o que dá x_B^R \approx F_B/R. Essa hipótese às vezes é razoável dependendo do sistema; ainda assim é uma hipótese adicional que deve ser explicitada.

Passo 7

Resumo operacional (o que você deve fazer na prova, passo a passo, quando derem a curva ou os K):
  1. Calcule F_A, F_B, F_S e F_\text{total} (já feito no Passo 2).
  2. Pegue a curva de equilíbrio que fornece x_A^E em função de x_A^R (ou os K).
  3. Use a fórmula E = \frac{F_A - F_\text{total}\,x_A^R}{x_A^E - x_A^R}para obter E (com F_\text{total}=350).
  4. Calcule R = 350 - E.
  5. Determine x_B^R e x_B^E a partir dos balanços de B e das identidades x_S^j=1-x_A^j-x_B^j.
  6. Verifique que todas as frações estejam entre 0 e 1 e que as massas se conservem (sanity check).

Passo 8

Conclusão direta para o problema real que você me mandou:
  • Para obter numericamen­te as composições das correntes de saída e a vazão do extrato é imprescindível dispor de dados de equilíbrio (por exemplo: curva de equilíbrio x_A^E vs x_A^R para o sistema metilciclohexano–n‑heptano–anilina, ou coeficientes de partição K experimentais).
  • O enunciado que você mandou não inclui essa curva nem nenhum coeficiente de partição. Portanto, conforme as regras de engenharia de processos, NÃO HÁ COMO calcular numericamente x_i^R,\\ x_i^E nem E sem esses dados adicionais. Eu não posso inventar a curva nem os K.
Se você quiser, eu já estou com tudo preparado para resolver assim que você me mandar qualquer uma das opções abaixo:
  • A curva de equilíbrio (ou tabela de pontos tie-line) do sistema A B S;
  • Ou valores de coeficientes K_A e K_B (caso a aproximação por K seja aceitável);
  • Ou a hipótese explícita de que x_B^E\approx 0 (se o professor permitir essa simplificação).
Com esses dados eu faço a resolução passo a passo e calculo numéricamente x e E — prometo explicar cada conta com calma.

Resposta

(a) Não é possível determinar numericamente as composições do extrato e da raffinate porque o enunciado não fornece dados de equilíbrio (curva de equilíbrio ou coeficientes de partição) para o sistema metilciclohexano–n‑heptano–anilina.
(b) Não é possível determinar numericamente a vazão do produto extrato pela mesma razão: faltam os dados de equilíbrio necessários para fechar os balanços e calcular E.

Exercícios relacionados