Uma mistura líquida equimolar n-heptano/n-octano é submetida a uma destilação em batelada simples a 30^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm , até que 60 \% do líquido sejam destilados. Assuma como base de cálculo uma carga inicial de 100 mol . Calcule:
a) A composição do resíduo.
b) A composição média do destilado.
c) A composição final do resíduo, sabendo que a volatilidade relativa média n-heptano/noctano a 1 atm é 2,16 .
Dados de equilíbrio:
x 0,312 0,340 0,380 0,420 0,460 0,487 0,510
y 0,492 0,523 0,567 0,608 0,648 0,674 0,698

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre uma destilação em batelada simples de uma mistura equimolar n-heptano / n-octano:
  • Perguntas:
    (a) A composição do resíduo (isto é, a fração molar de n-heptano no líquido que sobra) depois de destilar 60\% do líquido inicial.
    (b) A composição média do destilado (fração molar média de n-heptano no vapor condensado) obtido durante o processo.
    (c) A composição final do resíduo quando se usa a volatilidade relativa média \alpha_{\text{média}}=2{,}16é (isto serve para comparar com o resultado de (a)).
  • Dados fornecidos:
    • Carga inicial: L_0 = 100 mol (base de cálculo).
    • Mistura equimolar inicial: x_0 = 0{,}5 (fração molar de n-heptano no líquido inicial).
    • Fração destilada: 60\%, logo líquido final L = 40 mol e destilado D = 60 mol.
    • Condições: 30^\circ\mathrm{C} e 1 atm (usadas implicitamente no equilíbrio).
    • Tabela de equilíbrio (dados x e y fornecidos na imagem / enunciado): \begin{array}{ccccccc} x & 0{,}312 & 0{,}340 & 0{,}380 & 0{,}420 & 0{,}460 & 0{,}487 & 0{,}510\\[2pt] y & 0{,}492 & 0{,}523 & 0{,}567 & 0{,}608 & 0{,}648 & 0{,}674 & 0{,}698 \end{array}
    • Para (c): \alpha_{\text{média}}=2{,}16é.
A partir daqui eu vou resolver passo a passo, explicando a teoria (fórmulas, integrações, interpolações) para você entender e saber fazer na prova.]

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar: equação de Rayleigh para destilação em batelada diferencial. Vou derivar de forma curta e didática:
  • Considere o componente mais volátil (n-heptano), com fração molar no líquido x e no vapor y em equilíbrio com o líquido. Em um pequeno intervalo de destilação, o número de mols de líquido varia dL (negativo) e o balanço de componente dá: L\,dx + x\,dL = -y\,dD.Como dD = -dL (o que sai em vapor é o que diminui no líquido), isso vira L\,dx + x\,dL = y\,dL \quad\Rightarrow\quad L\,dx = (y-x)\,dL.Reorganizando, \frac{dL}{L} = \frac{dx}{y-x}.
  • Integrando entre as condições inicial e final (de L_0,x_0 a L,x_f): \ln\frac{L_0}{L} \;=\; \int_{x_f}^{x_0} \frac{dx}{\,y(x)-x\,}.
Esta é a equação de Rayleigh que usaremos. Aqui:
  • L_0 é o líquido inicial ( 100 mol),
  • L é o líquido final ( 40 mol),
  • x_0 é a fração molar inicial de n-heptano ( 0{,}5),
  • x_f é a fração molar final de n-heptano (o que queremos encontrar),
  • y(x) é a fração molar de n-heptano no vapor em equilíbrio com líquido de fração x (fornecida pela tabela; podemos interpolar entre pontos).

Passo 3

Calcular o lado esquerdo da equação de Rayleigh (valor numérico conhecido):
\ln\frac{L_0}{L} \;=\; \ln\frac{100}{40} \;=\; \ln(2{,}5) \;=\; 0{,}916291\\ \text{(valor alvo a obter pela integral).}

Passo 4

Preparar a integração numérica usando os dados de equilíbrio. Precisamos da função y(x) entre x_f e x_0=0{,}5. A tabela nos dá y em vários x. Primeira coisa: obter y em x_0=0{,}5 por interpolação linear entre os pontos mais próximos (x,y)=(0{,}487,0{,}674) e (0{,}510,0{,}698).
Interpolação linear:
\text{slope} = \frac{0{,}698-0{,}674}{0{,}510-0{,}487} = \frac{0{,}024}{0{,}023} \approx 1{,}04348,
y(0{,}5) = 0{,}674 + 1{,}04348\cdot(0{,}5-0{,}487) = 0{,}674 + 1{,}04348\cdot0{,}013 \approx 0{,}68757.
Logo y(0{,}5)\approx 0{,}6876.
Agora vamos integrar numericamente \int_{x_f}^{0{,}5} \dfrac{dx}{y(x)-x} fazendo a aproximação por trapézios entre os pontos da tabela (incluir o ponto interpolado x=0{,}5). Vou listar os nós que usei (do maior para menor x):
x:\\\ 0{,}500,\\\ 0{,}487,\\\ 0{,}460,\\\ 0{,}420,\\\ 0{,}380,\\\ 0{,}340,\\\ 0{,}312
com os respectivos y:
y:\\\ 0{,}68757,\\\ 0{,}674,\\\ 0{,}648,\\\ 0{,}608,\\\ 0{,}567,\\\ 0{,}523,\\\ 0{,}492.
Em cada nó calculamos y-x e f(x)=\dfrac{1}{y-x}. Vou mostrar alguns cálculos principais (arredondando em quatro casas decimais para clareza):
  • Em x=0{,}500: y-x=0{,}68757-0{,}500=0{,}18757\Rightarrow f=1/0{,}18757\approx 5{,}3320.
  • Em x=0{,}487: y-x=0{,}674-0{,}487=0{,}187\Rightarrow f\approx 5{,}347.
  • Em x=0{,}460: y-x=0{,}648-0{,}460=0{,}188\Rightarrow f\approx 5{,}319.
  • Em x=0{,}420: y-x=0{,}608-0{,}420=0{,}188\Rightarrow f\approx 5{,}319.
  • Em x=0{,}380: y-x=0{,}567-0{,}380=0{,}187\Rightarrow f\approx 5{,}348.
  • Em x=0{,}340: y-x=0{,}523-0{,}340=0{,}183\Rightarrow f\approx 5{,}464.
  • Em x=0{,}312: y-x=0{,}492-0{,}312=0{,}180\Rightarrow f\approx 5{,}556.
Agora aplico a regra do trapézio em cada segmento [x_{i+1},x_i]:
contribuição \approx (x_i-x_{i+1})\cdot\frac{f(x_i)+f(x_{i+1})}{2}.
Cálculo das contribuições (valores arredondados):
  • Segmento 0{,}500\to0{,}487: largura 0{,}013, média (5{,}3320+5{,}347)/2\approx5{,}3395 → contribuição 0{,}013\cdot5{,}3395\approx0{,}0694.
  • Segmento 0{,}487\to0{,}460: largura 0{,}027, média \approx5{,}3331 → contribuição \approx0{,}1440.
  • Segmento 0{,}460\to0{,}420: largura 0{,}040, média \approx5{,}3191 → contribuição \approx0{,}2128.
  • Segmento 0{,}420\to0{,}380: largura 0{,}040, média \approx5{,}3333 → contribuição \approx0{,}2133.
  • Segmento 0{,}380\to0{,}340: largura 0{,}040, média \approx5{,}4059 → contribuição \approx0{,}2162.
  • Segmento 0{,}340\to0{,}312: largura 0{,}028, média \approx5{,}5100 → contribuição \approx0{,}1543.
Somando as contribuições desde x=0{,}5 até x=0{,}312 obtemos integral aproximada
\int_{0{,}312}^{0{,}5}\frac{dx}{y-x}\approx 1{,}0100.
Observação: este valor excede o valor alvo 0{,}916291. Isso significa que o x_f buscado está entre 0{,}340 e 0{,}312 (ou seja, x_f>0{,}312), porque integrar só até x=0{,}340 dá uma integral menor que 0{,}916.

Passo 5

Encontrar x_f precisamente (dentro da precisão que usamos) resolvendo para o ponto dentro do último segmento [0{,}340,0{,}312] que faça a integral igual a 0{,}916291.
  • Integral acumulada até x=0{,}340 (somando contribuições anteriores) era aproximadamente 0{,}85574.
  • Precisamos de mais \Delta = 0{,}916291-0{,}85574 = 0{,}06055 vindo do trecho entre 0{,}340 e x_f.
  • No segmento 0{,}340\to0{,}312 a função f(x) varia quase linearmente entre f(0{,}340)\approx5{,}4645 e f(0{,}312)\approx5{,}5556. Vamos achar a largura s a partir de 0{,}340 que gera área 0{,}06055 usando a fórmula da área sob uma reta:
    \text{Área}(s)=f(0{,}340)\,s + \tfrac{1}{2} m s^2,Á
    onde m=\dfrac{f(0{,}312)-f(0{,}340)}{0{,}028}\approx\dfrac{5{,}5556-5{,}4645}{0{,}028}\approx3{,}2529.
  • Resolvendo numericamente a quadrática 5{,}4645\,s + 1{,}62645\,s^2 = 0{,}06055 obtemos s\approx0{,}01120.
  • Assim o ponto final é
    x_f = 0{,}340 - s \approx 0{,}340 - 0{,}01120 = 0{,}3288.
Portanto, usando os dados de equilíbrio fornecidos e integração numérica, obtemos como fração molar final de n-heptano no resíduo
x_f \approx 0{,}3288.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: como esperado, x_f < x_0 porque durante a destilação saem preferencialmente as moléculas mais voláteis (n-heptano), logo o resíduo enriquece em n-octano. O valor x_f\approx0{,}3288 é consistente com a magnitude da volatilidade vista na tabela.

Passo 7

Agora calculamos a composição média do destilado (parte (b)). Usamos balanço total de massa do componente mais volátil (n-heptano):
  • Mols iniciais de n-heptano: N_{A0} = L_0 x_0 = 100\cdot0{,}5 = 50 mol.
  • Mols finais de n-heptano no resíduo: N_{Af} = L\,x_f = 40\cdot0{,}3288 = 13{,}152 mol.
  • Mols de n-heptano que saíram no destilado: N_{A,D} = N_{A0}-N_{Af} = 50 - 13{,}152 = 36{,}848 mol.
  • Mols totais de destilado: D = 60 mol. Logo a composição média do destilado é \bar{y} = \frac{N_{A,D}}{D} = \frac{36{,}848}{60} \approx 0{,}6141.
Assim a fração molar média de n-heptano no destilado é aproximadamente 0{,}6141.

Passo 8

Agora resolvemos (c): usar a volatilidade relativa média constante \alpha=2{,}16 para obter x_f analiticamente (isto é, assumir y(x) dada por uma expressão simples).
  • Para volatilidade relativa constante \alpha aplicável a misturas ideais, a relação de equilíbrio pode ser escrita: y = \frac{\alpha x}{\,1 + (\alpha-1)x\,}.
  • Substituindo nessa forma na equação de Rayleigh e manipulando (faça atenção aos passos; eu mostro a decomposição em frações parciais): y-x = \frac{\alpha x}{1+(\alpha-1)x}-x = \frac{(\alpha-1)x(1-x)}{1+(\alpha-1)x}.Assim \frac{1}{y-x} = \frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}.Essa função pode ser decomposta em frações simples: \frac{1+(\alpha-1)x}{(\alpha-1)x(1-x)}=\frac{1}{\alpha-1}\left(\frac{1}{x}\right)+\frac{\alpha}{\alpha-1}\left(\frac{1}{1-x}\right).
  • Integrando entre x_f e x_0 obtemos a expressão analítica: \ln\frac{L_0}{L} = \frac{1}{\alpha-1}\ln\frac{x_0}{x_f} + \frac{\alpha}{\alpha-1}\ln\frac{1-x_f}{1-x_0}.
Isto é conveniente porque, para \alpha constante, dá uma equação que pode ser resolvida numericamente para x_f sem precisar integrar ponto a ponto.

Passo 9

Aplicando números: \alpha=2{,}16\Rightarrow \alpha-1=1{,}16. Então os coeficientes são
\frac{1}{\alpha-1}\approx0{,}862069,\qquad \frac{\alpha}{\alpha-1}\approx1{,}862069.
A equação fica:
0{,}916291 = 0{,}862069\ln\frac{0{,}5}{x_f} \;+\; 1{,}862069\ln\frac{1-x_f}{0{,}5}.
Resolvendo numericamente essa equação (por tentativas ou por um método numérico simples) obtém-se
x_f \approx 0{,}3281.
Note que este valor é muito próximo do valor obtido no item (a) com os dados experimentais (diferença pequena: 0{,}3288 vs 0{,}3281), o que indica consistência entre os dados de equilíbrio e a volatilidade média fornecida.

Passo 10

Resumo rápido e incentivo: conseguimos (i) resolver a equação de Rayleigh numericamente usando a tabela de equilíbrio e integração por trapézios para obter x_f do resíduo, (ii) usar balanço de massa para achar a composição média do destilado, e (iii) resolver analiticamente o caso com volatilidade relativa constante para comparar. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — é exatamente esse tipo de prática que cai na prova. Força que está indo bem!

Resposta

(a) x_{\text{res}} \approx 0{,}3288\n
(b) \bar{y}_{\text{destilado}} \approx 0{,}6141\n
(c) x_{\text{res}} \text{ (com }\alpha=2{,}16\text{)} \approx 0{,}3281

Exercícios relacionados