Uma mistura líquida equimolar n-heptano/n-octano é submetida a uma destilação em batelada simples a
e 1 atm , até que
do líquido sejam destilados. Assuma como base de cálculo uma carga inicial de 100 mol . Calcule:
a) A composição do resíduo.
b) A composição média do destilado.
c) A composição final do resíduo, sabendo que a volatilidade relativa média n-heptano/noctano a 1 atm é 2,16 .
Dados de equilíbrio:
x
0,312
0,340
0,380
0,420
0,460
0,487
0,510
y
0,492
0,523
0,567
0,608
0,648
0,674
0,698
a) A composição do resíduo.
b) A composição média do destilado.
c) A composição final do resíduo, sabendo que a volatilidade relativa média n-heptano/noctano a 1 atm é 2,16 .
| x | 0,312 | 0,340 | 0,380 | 0,420 | 0,460 | 0,487 | 0,510 |
| y | 0,492 | 0,523 | 0,567 | 0,608 | 0,648 | 0,674 | 0,698 |
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre uma destilação em batelada simples de uma mistura equimolar n-heptano / n-octano:
-
Perguntas:
(a) A composição do resíduo (isto é, a fração molar de n-heptano no líquido que sobra) depois de destilardo líquido inicial.
(b) A composição média do destilado (fração molar média de n-heptano no vapor condensado) obtido durante o processo.
(c) A composição final do resíduo quando se usa a volatilidade relativa média(isto serve para comparar com o resultado de (a)). -
Dados fornecidos:
- Carga inicial:
mol (base de cálculo). - Mistura equimolar inicial:
(fração molar de n-heptano no líquido inicial). - Fração destilada:
, logo líquido final mol e destilado mol. - Condições:
e atm (usadas implicitamente no equilíbrio). - Tabela de equilíbrio (dados
e fornecidos na imagem / enunciado): - Para (c):
.
- Carga inicial:
A partir daqui eu vou resolver passo a passo, explicando a teoria (fórmulas, integrações, interpolações) para você entender e saber fazer na prova.]
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar: equação de Rayleigh para destilação em batelada diferencial. Vou derivar de forma curta e didática:
- Considere o componente mais volátil (n-heptano), com fração molar no líquido
e no vapor em equilíbrio com o líquido. Em um pequeno intervalo de destilação, o número de mols de líquido varia (negativo) e o balanço de componente dá: Como (o que sai em vapor é o que diminui no líquido), isso vira Reorganizando, - Integrando entre as condições inicial e final (de
a ):
Esta é a equação de Rayleigh que usaremos. Aqui:
-
é o líquido inicial ( mol), -
é o líquido final ( mol), -
é a fração molar inicial de n-heptano ( ), -
é a fração molar final de n-heptano (o que queremos encontrar), -
é a fração molar de n-heptano no vapor em equilíbrio com líquido de fração (fornecida pela tabela; podemos interpolar entre pontos).
Passo 3
Calcular o lado esquerdo da equação de Rayleigh (valor numérico conhecido):
Passo 4
Preparar a integração numérica usando os dados de equilíbrio. Precisamos da função
entre
e
. A tabela nos dá
em vários
. Primeira coisa: obter
em
por interpolação linear entre os pontos mais próximos
e
.
Interpolação linear:
Logo
.
Agora vamos integrar numericamente
fazendo a aproximação por trapézios entre os pontos da tabela (incluir o ponto interpolado
). Vou listar os nós que usei (do maior para menor
):
com os respectivos
:
Em cada nó calculamos
e
. Vou mostrar alguns cálculos principais (arredondando em quatro casas decimais para clareza):
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
Agora aplico a regra do trapézio em cada segmento
:
contribuição .
contribuição
Cálculo das contribuições (valores arredondados):
- Segmento
: largura , média → contribuição . - Segmento
: largura , média → contribuição . - Segmento
: largura , média → contribuição . - Segmento
: largura , média → contribuição . - Segmento
: largura , média → contribuição . - Segmento
: largura , média → contribuição .
Somando as contribuições desde
até
obtemos integral aproximada
Observação: este valor excede o valor alvo
. Isso significa que o
buscado está entre
e
(ou seja,
), porque integrar só até
dá uma integral menor que
.
Passo 5
Encontrar
precisamente (dentro da precisão que usamos) resolvendo para o ponto dentro do último segmento
que faça a integral igual a
.
-
Integral acumulada até
(somando contribuições anteriores) era aproximadamente . -
Precisamos de mais
vindo do trecho entre e . -
No segmento
a função varia quase linearmente entre e . Vamos achar a largura a partir de que gera área usando a fórmula da área sob uma reta: onde. -
Resolvendo numericamente a quadrática
obtemos . -
Assim o ponto final é
Portanto, usando os dados de equilíbrio fornecidos e integração numérica, obtemos como fração molar final de n-heptano no resíduo
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: como esperado,
porque durante a destilação saem preferencialmente as moléculas mais voláteis (n-heptano), logo o resíduo enriquece em n-octano. O valor
é consistente com a magnitude da volatilidade vista na tabela.
Passo 7
Agora calculamos a composição média do destilado (parte (b)). Usamos balanço total de massa do componente mais volátil (n-heptano):
- Mols iniciais de n-heptano:
mol. - Mols finais de n-heptano no resíduo:
mol. - Mols de n-heptano que saíram no destilado:
mol. - Mols totais de destilado:
mol. Logo a composição média do destilado é
Assim a fração molar média de n-heptano no destilado é aproximadamente
.
Passo 8
Agora resolvemos (c): usar a volatilidade relativa média constante
para obter
analiticamente (isto é, assumir
dada por uma expressão simples).
- Para volatilidade relativa constante
aplicável a misturas ideais, a relação de equilíbrio pode ser escrita: - Substituindo nessa forma na equação de Rayleigh e manipulando (faça atenção aos passos; eu mostro a decomposição em frações parciais):
Assim Essa função pode ser decomposta em frações simples: - Integrando entre
e obtemos a expressão analítica:
Isto é conveniente porque, para
constante, dá uma equação que pode ser resolvida numericamente para
sem precisar integrar ponto a ponto.
Passo 9
Aplicando números:
. Então os coeficientes são
A equação fica:
Resolvendo numericamente essa equação (por tentativas ou por um método numérico simples) obtém-se
Note que este valor é muito próximo do valor obtido no item (a) com os dados experimentais (diferença pequena:
vs
), o que indica consistência entre os dados de equilíbrio e a volatilidade média fornecida.
Passo 10
Resumo rápido e incentivo: conseguimos (i) resolver a equação de Rayleigh numericamente usando a tabela de equilíbrio e integração por trapézios para obter
do resíduo, (ii) usar balanço de massa para achar a composição média do destilado, e (iii) resolver analiticamente o caso com volatilidade relativa constante para comparar. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — é exatamente esse tipo de prática que cai na prova. Força que está indo bem!
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)