- Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um círculo, cada quadrante com uma só cor, se quadrantes cuja fronteira é uma linha não podem receber a mesma cor?
Passo 1
O enunciado pede: contar de quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um círculo usando 5 cores distintas, com a restrição de que quadrantes que têm fronteira comum em linha (ou seja, quadrantes adjacentes) não podem receber a mesma cor. Informações relevantes fornecidas:
- Existem exatamente
cores disponíveis. - Há exatamente
quadrantes a colorir. - Dois quadrantes que se tocam por uma linha (adjacentes) não podem ter a mesma cor.
- Quadrantes opostos (que se tocam só no centro, um ponto) podem ter a mesma cor.
A missão é encontrar o número total de colorações possíveis que satisfaçam essas restrições.
Passo 2
Vamos rotular os quadrantes em ordem circular como
. As restrições de adjacência são então:
Vou contar as colorações construindo as escolhas sequencialmente: escolher a cor de
, depois de
, depois de
, e por fim de
. Esse é um método direto e fácil de aplicar na prova.
Passo 3
Escolhas para os três primeiros quadrantes:
- Para
temos escolhas. - Para
temos que escolher uma cor diferente de , logo escolhas. - Para
temos que escolher uma cor diferente de , então também escolhas (pois das 5 cores apenas a de está proibida; pode ser igual a porque e são opostos).
Multiplicando,
Essas
são as “configurações parciais” antes de escolher
.
Passo 4
Agora escolhemos
. A cor de
precisa ser diferente da cor de
e também diferente da cor de
(porque
é adjacente a ambos). Há duas situações distintas que mudam o número de opções para
:
- Caso A:
. Então e são a mesma cor, logo só precisa evitar essa única cor; tem escolhas. - Caso B:
. Então precisa evitar duas cores distintas; tem escolhas.
Vamos contar separadamente as duas situações.
Passo 5
Contagem do Caso A (
):
- Para que
ocorra, depois de escolher (5 opções) e (4 opções), a escolha de tem que ser precisamente a mesma que . Entre as 4 cores permitidas para (todas menos a cor de ), há exatamente 1 que é igual à cor de . Logo o número de parciais com é
Para cada uma dessas
configurações,
tem
escolhas (evitar a cor comum a
e
). Assim as colorações completas vindas desse caso são
Passo 6
Contagem do Caso B (
):
- O total de parciais
é (do Passo 3). Já contamos parciais com . Logo o número de parciais com é
Para cada uma dessas
configurações,
tem
escolhas (evitar duas cores distintas). Assim as colorações completas vindas desse caso são
Passo 7
Somando as contribuições dos dois casos obtemos o total de colorações válidas:
Então há
maneiras de colorir os quatro quadrantes com 5 cores, respeitando a restrição de que quadrantes adjacentes tenham cores diferentes.
Passo 8
(Observação rápida — fórmula geral) Se preferir uma fórmula pronta: o número de colorações próprias de um ciclo com
vértices usando
cores é
Substituindo
e
dá
, que confirma o resultado anterior.