1. Dispomos de 5 cores distintas. De quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um círculo, cada quadrante com uma só cor, se quadrantes cuja fronteira é uma linha não podem receber a mesma cor?

Passo 1

O enunciado pede: contar de quantos modos podemos colorir os quatro quadrantes de um círculo usando 5 cores distintas, com a restrição de que quadrantes que têm fronteira comum em linha (ou seja, quadrantes adjacentes) não podem receber a mesma cor. Informações relevantes fornecidas:
  • Existem exatamente 5 cores disponíveis.
  • Há exatamente 4 quadrantes a colorir.
  • Dois quadrantes que se tocam por uma linha (adjacentes) não podem ter a mesma cor.
  • Quadrantes opostos (que se tocam só no centro, um ponto) podem ter a mesma cor.
    A missão é encontrar o número total de colorações possíveis que satisfaçam essas restrições.

Passo 2

Vamos rotular os quadrantes em ordem circular como Q_1,Q_2,Q_3,Q_4. As restrições de adjacência são então:
Q_1\neq Q_2,\quad Q_2\neq Q_3,\quad Q_3\neq Q_4,\quad Q_4\neq Q_1.
Vou contar as colorações construindo as escolhas sequencialmente: escolher a cor de Q_1, depois de Q_2, depois de Q_3, e por fim de Q_4. Esse é um método direto e fácil de aplicar na prova.

Passo 3

Escolhas para os três primeiros quadrantes:
  • Para Q_1 temos \,5 escolhas.
  • Para Q_2 temos que escolher uma cor diferente de Q_1, logo \,4 escolhas.
  • Para Q_3 temos que escolher uma cor diferente de Q_2, então também \,4 escolhas (pois das 5 cores apenas a de Q_2 está proibida; Q_3 pode ser igual a Q_1 porque Q_1 e Q_3 são opostos).
    Multiplicando,
\text{nº de formas de escolher }(Q_1,Q_2,Q_3)=5\cdot 4\cdot 4=80.º
Essas 80 são as “configurações parciais” antes de escolher Q_4.

Passo 4

Agora escolhemos Q_4. A cor de Q_4 precisa ser diferente da cor de Q_3 e também diferente da cor de Q_1 (porque Q_4 é adjacente a ambos). Há duas situações distintas que mudam o número de opções para Q_4:
  • Caso A: \,Q_1 = Q_3. Então Q_1 e Q_3 são a mesma cor, logo Q_4 só precisa evitar essa única cor; tem 5-1=4 escolhas.
  • Caso B: \,Q_1 \neq Q_3. Então Q_4 precisa evitar duas cores distintas; tem 5-2=3 escolhas.
    Vamos contar separadamente as duas situações.

Passo 5

Contagem do Caso A ( Q_1=Q_3):
  • Para que Q_1=Q_3 ocorra, depois de escolher Q_1 (5 opções) e Q_2 (4 opções), a escolha de Q_3 tem que ser precisamente a mesma que Q_1. Entre as 4 cores permitidas para Q_3 (todas menos a cor de Q_2), há exatamente 1 que é igual à cor de Q_1. Logo o número de parciais com Q_1=Q_3 é
5\cdot 4\cdot 1=20.
Para cada uma dessas 20 configurações, Q_4 tem 4 escolhas (evitar a cor comum a Q_1 e Q_3). Assim as colorações completas vindas desse caso são
20\cdot 4=80.

Passo 6

Contagem do Caso B ( Q_1\neq Q_3):
  • O total de parciais (Q_1,Q_2,Q_3) é 80 (do Passo 3). Já contamos 20 parciais com Q_1=Q_3. Logo o número de parciais com Q_1\neq Q_3 é
80-20=60.
Para cada uma dessas 60 configurações, Q_4 tem 3 escolhas (evitar duas cores distintas). Assim as colorações completas vindas desse caso são
60\cdot 3=180.

Passo 7

Somando as contribuições dos dois casos obtemos o total de colorações válidas:
80+180=260.
Então há 260 maneiras de colorir os quatro quadrantes com 5 cores, respeitando a restrição de que quadrantes adjacentes tenham cores diferentes.

Passo 8

(Observação rápida — fórmula geral) Se preferir uma fórmula pronta: o número de colorações próprias de um ciclo com n vértices usando k cores é
(k-1)^n + (-1)^n (k-1).
Substituindo n=4 e k=5 (4)^4+4=256+4=260, que confirma o resultado anterior.

Resposta

260

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