1. Um vagão do metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem se sentar de frente, 3 preferem se sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferências?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente conte de quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando preferências.
  • Existem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas.
  • Existem 10 passageiros distintos:
    • 4 preferem sentar-se de frente,
    • 3 preferem sentar-se de costas,
    • os 3 restantes não têm preferência (neutros).
  • A condição é: cada passageiro com preferência só pode ocupar um banco do tipo que prefere; os neutros podem ocupar qualquer banco restante.
  • Queremos o número total de arranjos possíveis (assentos são distintos).

Passo 2

Modelagem e ideia geral (sem cálculos ainda).
  • Cada banco é um lugar distinto (por exemplo, vamos numerar os bancos de frente como F_1,\dots,F_5 e os de costas como B_1,\dots,B_5). Os passageiros também são distintos entre si.
  • Portanto, colocar passageiros em assentos é uma permutação de passageiros em posições, respeitando as restrições de tipo de banco.
  • Estratégia: primeiro alocar os passageiros que têm preferência nos bancos do tipo correspondente; depois alocar os neutros nos bancos que sobrarem. Multiplicamos as possibilidades de cada etapa (princípio fundamental da contagem).

Passo 3

Contagem dos arranjos dos 4 passageiros que preferem frente.
  • Temos 5 bancos de frente e 4 passageiros que devem sentar-se nesses bancos. Precisamos escolher quais 4 dos 5 bancos serão ocupados e em que ordem (quem senta em qual banco).
  • O número de maneiras de escolher e ordenar 4 bancos entre 5 é a permutação de 5 tomadas 4 a 4, que se escreve \,_{5}P_{4}\, e vale \,_{5}P_{4} = \frac{5!}{(5-4)!} = \frac{5!}{1!}.
  • Calculando: 5! = 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 120, então \,_{5}P_{4} = \frac{120}{1} = 120.
  • Interpretação simples: primeiro escolho o banco do primeiro passageiro de frente ( 5 opções), depois para o segundo ( 4 opções), depois ( 3), depois ( 2) — multiplicando 5\cdot4\cdot3\cdot2=120.

Passo 4

Contagem dos arranjos dos 3 passageiros que preferem costas.
  • De forma análoga, há 5 bancos de costas e 3 passageiros que devem ficar nesses bancos. O número de maneiras é \,_{5}P_{3}: \,_{5}P_{3} = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!}.
  • Calculando: 5! = 120 e 2! = 2, então \,_{5}P_{3} = \frac{120}{2} = 60.
  • Interpretação: 5 opções para o primeiro desses passageiros, 4 para o segundo, 3 para o terceiro, multiplicando 5\cdot4\cdot3=60.

Passo 5

Contagem das posições para os 3 passageiros neutros (sem preferência).
  • Após alocar os 4 de frente e os 3 de costas, sobram 10 - (4+3) = 3 bancos vazios. Esses podem estar distribuídos entre frente e costas (no caso: sobra 1 banco de frente e 2 de costas), mas o que importa é que são 3 lugares distintos.
  • Os 3 passageiros neutros devem ocupar esses 3 lugares distintos; o número de maneiras é 3!.
  • Calculando: 3! = 3\cdot2\cdot1 = 6.

Passo 6

Multiplicando as contagens (princípio multiplicativo).
  • Como as escolhas em cada etapa são independentes (escolhas de onde sentam os de frente, de costas e os neutros), multiplicamos os números obtidos: \text{Total} = \,_{5}P_{4}\times \,_{5}P_{3}\times 3!.
  • Substituindo os valores: \text{Total} = 120 \times 60 \times 6.
  • Calculando passo a passo: 120\times60=7200. Em seguida 7200\times6=43200.

Passo 7

Checagem alternativa (mesma conta organizada de outro jeito).
  • Podemos escrever a mesma expressão usando combinações e fatoriais: \text{Total} = \binom{5}{4}\cdot 4! \;\times\; \binom{5}{3}\cdot 3! \;\times\; 3!.
  • Onde \binom{5}{4}=5 escolhe quais bancos de frente são ocupados e 4! ordena os 4 passageiros, etc. Calculando dá o mesmo: 5\cdot24\cdot10\cdot6\cdot6=43200.

Resposta

43200

Exercícios relacionados