- Um vagão do metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 de frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem se sentar de frente, 3 preferem se sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos eles podem se sentar, respeitadas as preferências?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que a gente conte de quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando preferências.
- Existem
bancos individuais, sendo de frente e de costas. - Existem
passageiros distintos: -
preferem sentar-se de frente, -
preferem sentar-se de costas, - os
restantes não têm preferência (neutros).
-
- A condição é: cada passageiro com preferência só pode ocupar um banco do tipo que prefere; os neutros podem ocupar qualquer banco restante.
- Queremos o número total de arranjos possíveis (assentos são distintos).
Passo 2
Modelagem e ideia geral (sem cálculos ainda).
- Cada banco é um lugar distinto (por exemplo, vamos numerar os bancos de frente como
e os de costas como ). Os passageiros também são distintos entre si. - Portanto, colocar passageiros em assentos é uma permutação de passageiros em posições, respeitando as restrições de tipo de banco.
- Estratégia: primeiro alocar os passageiros que têm preferência nos bancos do tipo correspondente; depois alocar os neutros nos bancos que sobrarem. Multiplicamos as possibilidades de cada etapa (princípio fundamental da contagem).
Passo 3
Contagem dos arranjos dos
passageiros que preferem frente.
- Temos
bancos de frente e passageiros que devem sentar-se nesses bancos. Precisamos escolher quais dos bancos serão ocupados e em que ordem (quem senta em qual banco). - O número de maneiras de escolher e ordenar
bancos entre é a permutação de tomadas a , que se escreve e vale - Calculando:
, então - Interpretação simples: primeiro escolho o banco do primeiro passageiro de frente (
opções), depois para o segundo ( opções), depois ( ), depois ( ) — multiplicando .
Passo 4
Contagem dos arranjos dos
passageiros que preferem costas.
- De forma análoga, há
bancos de costas e passageiros que devem ficar nesses bancos. O número de maneiras é : - Calculando:
e , então - Interpretação:
opções para o primeiro desses passageiros, para o segundo, para o terceiro, multiplicando .
Passo 5
Contagem das posições para os
passageiros neutros (sem preferência).
- Após alocar os
de frente e os de costas, sobram bancos vazios. Esses podem estar distribuídos entre frente e costas (no caso: sobra banco de frente e de costas), mas o que importa é que são lugares distintos. - Os
passageiros neutros devem ocupar esses lugares distintos; o número de maneiras é . - Calculando:
.
Passo 6
Multiplicando as contagens (princípio multiplicativo).
- Como as escolhas em cada etapa são independentes (escolhas de onde sentam os de frente, de costas e os neutros), multiplicamos os números obtidos:
- Substituindo os valores:
- Calculando passo a passo:
. Em seguida .
Passo 7
Checagem alternativa (mesma conta organizada de outro jeito).
- Podemos escrever a mesma expressão usando combinações e fatoriais:
- Onde
escolhe quais bancos de frente são ocupados e ordena os passageiros, etc. Calculando dá o mesmo: .