De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros? Aqui, consideramos, naturalmente,
como sendo o mesmo que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: contar de quantos modos o número
pode ser escrito como produto de dois inteiros positivos, considerando que a ordem não importa (ou seja,
é o mesmo que
).
Informações dadas / entendimento implícito: é um inteiro positivo; estamos contando decomposições em inteiros positivos; cada decomposição corresponde a um par
com
, e
e
contam como a mesma decomposição.
Informações dadas / entendimento implícito:
Passo 2
Primeiro passo prático: fatorar
em primos. Vou dividir por fatores pequenos até terminar, mostrando o raciocínio:
Juntando tudo, temos a fatoração em primos:
Passo 3
Explicação didática: por que a fatoração prima é útil? Porque qualquer divisor positivo
de
corresponde a escolher, para cada primo da fatoração, um expoente entre
e o expoente máximo daquele primo em
. Aqui os primos são
com expoentes
respectivamente. Para o expoente de
podemos escolher
ou
(5 opções); para o expoente de
temos
(3 opções); para o expoente de
temos
(2 opções). Pelo princípio da contagem, o número total de divisores positivos de
, que chamamos
, é o produto dessas quantidades:
Passo 4
Relação entre divisores e decomposições em dois fatores (ordem irrelevante): cada divisor positivo
determina uma decomposição
. Assim há tantas decomposições ordenadas quanto divisores. Mas como a ordem não importa —
é considerada igual a
— devemos agrupar os divisores em pares
. Se
não fosse quadrado perfeito, cada par é formado por dois divisores distintos e, portanto, o número de decomposições sem ordem é
. Se fosse quadrado perfeito, a raiz quadrada ficaria sozinha e faríamos
. Forma prática e geral: número de decomposições sem considerar ordem = número de divisores até a raiz quadrada (isto é,
), mas como
é par, basta dividir por
:
Passo 5
Para fixar bem a ideia, podemos listar explicitamente os
pares (cada par escrito com o menor primeiro), verificando que cobrem todos os divisores:
Cada um desses multiplica para
e não há outros pares positivos além desses.
Resposta
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