De quantos modos o número 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros? Aqui, consideramos, naturalmente, 8 \times 90 como sendo o mesmo que 90 \times 8.

Passo 1

O que o enunciado pede: contar de quantos modos o número \;720\; pode ser escrito como produto de dois inteiros positivos, considerando que a ordem não importa (ou seja, \;8\times90\; é o mesmo que \;90\times8\;).
Informações dadas / entendimento implícito: \;720\; é um inteiro positivo; estamos contando decomposições em inteiros positivos; cada decomposição corresponde a um par (a,b) com \;a\cdot b=720\;, e (a,b) e (b,a) contam como a mesma decomposição.

Passo 2

Primeiro passo prático: fatorar \;720\; em primos. Vou dividir por fatores pequenos até terminar, mostrando o raciocínio:
720 = 2 \times 360
360 = 2 \times 180
180 = 2 \times 90
90 = 2 \times 45
45 = 3 \times 15
15 = 3 \times 5
5 = 5 \times 1
Juntando tudo, temos a fatoração em primos:
720 = 2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}.

Passo 3

Explicação didática: por que a fatoração prima é útil? Porque qualquer divisor positivo d de \;720\; corresponde a escolher, para cada primo da fatoração, um expoente entre 0 e o expoente máximo daquele primo em \;720\;. Aqui os primos são 2,3,5 com expoentes 4,2,1 respectivamente. Para o expoente de 2 podemos escolher 0,1,2,3 ou 4 (5 opções); para o expoente de 3 temos 0,1,2 (3 opções); para o expoente de 5 temos 0,1 (2 opções). Pelo princípio da contagem, o número total de divisores positivos de \;720\;, que chamamos \tau(720), é o produto dessas quantidades:
\tau(720)=(4+1)\cdot(2+1)\cdot(1+1)=5\cdot 3\cdot 2=30.

Passo 4

Relação entre divisores e decomposições em dois fatores (ordem irrelevante): cada divisor positivo d determina uma decomposição (d,\;720/d). Assim há tantas decomposições ordenadas quanto divisores. Mas como a ordem não importa — (d,720/d) é considerada igual a (720/d,d) — devemos agrupar os divisores em pares \{d,720/d\}. Se \;720\; não fosse quadrado perfeito, cada par é formado por dois divisores distintos e, portanto, o número de decomposições sem ordem é \tau(720)/2. Se fosse quadrado perfeito, a raiz quadrada ficaria sozinha e faríamos (\tau(720)+1)/2. Forma prática e geral: número de decomposições sem considerar ordem = número de divisores até a raiz quadrada (isto é, \lceil \tau(720)/2\rceil), mas como \tau(720)=30 é par, basta dividir por 2:
\text{nº de decomposições}=\frac{\tau(720)}{2}=\frac{30}{2}=15.ºçõ

Passo 5

Para fixar bem a ideia, podemos listar explicitamente os 15 pares (cada par escrito com o menor primeiro), verificando que cobrem todos os divisores:
(1,720),\\ (2,360),\\ (3,240),\\ (4,180),\\ (5,144),\\ (6,120),\\ (8,90),\\ (9,80), (10,72),\\ (12,60),\\ (15,48),\\ (16,45),\\ (18,40),\\ (20,36),\\ (24,30).
Cada um desses multiplica para \;720\; e não há outros pares positivos além desses.

Resposta

15

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