Dispomos de dois baralhos completos e iguais, de 52 cartas. Retiramos duas cartas do primeiro baralho e, sem as vermos, misturamos essas cartas no segundo baralho. A seguir, escolhemos duas cartas do segundo baralho. Qual é a probabilidade de que essas cartas sejam reis?

Passo 1

Beleza, o que diz a questão? A gente tem dois baralhos de 52 cartas iguais. Do primeiro baralho tiramos 2 cartas sem olhar e colocamos no segundo, que fica com 54 cartas. Aí a gente sorteia 2 cartas do segundo baralho e quer saber a probabilidade de que as duas sejam reis.
Conteúdo: probabilidade condicional e distribuição hipergeométrica. Vamos precisar de combinações e da Lei da Probabilidade Total pra somar os casos em que transferimos 0, 1 ou 2 reis.

Passo 2

Primeiro, vou chamar P(X = x) ;=; binom4x,binom482-xbinom522 para x=0,1,2 = número de reis que vieram do primeiro baralho. Como no primeiro baralho tem 4 reis em 52 cartas e escolhemos 2, temos:
Calculemos rápido:

Passo 3

Agora, dado que vieram P(2 reis mid X=x) =binom4+x2binom542 reis, o segundo baralho tem reis em 54 cartas. A probabilidade de tirar 2 reis dele é
Ou seja:
  • Se ,
  • Se ,
  • Se ,

Passo 4

Finalmente, pela Lei da Probabilidade Total:
P(2 reis) = sumx=0^2 P(X=x),P(2 reismid X=x) = 11281326!cdot!61431 + 1921326!cdot!101431 + 61326!cdot!151431
Fazendo as contas dá
87781326cdot1431 =1463316251approx0,00463

Resposta

A probabilidade de tirar duas cartas que sejam reis é
boxed1463316251approx0,00463;(0,463%)

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