Dispondo de 240 m de arame para cercar uma área retangular, como este material deve ser usado de modo que a região cercada seja a maior possível?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem 240 metros de arame para cercar uma área retangular e quer usar esse material de forma que a região cercada seja a maior possível. Isso envolve conceitos de geometria, especificamente sobre perímetro e área de retângulos, além de um pouco de cálculo para otimizar a área. Vamos precisar saber como calcular perímetro e área de um retângulo e como maximizar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento do retângulo de
metros e a largura de
metros. Com isso, o perímetro do retângulo é dado pela fórmula:
Sabemos que o perímetro disponível é de 240 metros, então:
Passo 3
Vamos simplificar essa equação dividindo tudo por 2:
Agora, podemos expressar
em função de
:
Passo 4
Agora, vamos pensar na área do retângulo, que é dada por:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, vamos analisar a função quadrática:
O gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, então o ponto de máximo está no vértice. A fórmula para encontrar o vértice é:
Aqui,
e
, então:
Passo 6
Agora que sabemos que
metros, podemos encontrar
:
Resposta
Para maximizar a área cercada com 240 metros de arame, o retângulo deve ter dimensões de 60 metros de comprimento por 60 metros de largura, ou seja, deve ser um quadrado.