Dispondo de 240 m de arame para cercar uma área retangular, como este material deve ser usado de modo que a região cercada seja a maior possível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem 240 metros de arame para cercar uma área retangular e quer usar esse material de forma que a região cercada seja a maior possível. Isso envolve conceitos de geometria, especificamente sobre perímetro e área de retângulos, além de um pouco de cálculo para otimizar a área. Vamos precisar saber como calcular perímetro e área de um retângulo e como maximizar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Vamos chamar o comprimento do retângulo de P = 2x + 2y metros e a largura de 2x + 2y = 240 metros. Com isso, o perímetro do retângulo é dado pela fórmula:
Sabemos que o perímetro disponível é de 240 metros, então:

Passo 3

Vamos simplificar essa equação dividindo tudo por 2:
x + y = 120
Agora, podemos expressar y = 120 - x em função de :

Passo 4

Agora, vamos pensar na área do retângulo, que é dada por:
A = x times y
Substituindo A = x times (120 - x) = 120x - x^2 pela expressão que encontramos:

Passo 5

Para encontrar o valor de A(x) = -x^2 + 120x que maximiza a área, vamos analisar a função quadrática:
x = -b2a
O gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, então o ponto de máximo está no vértice. A fórmula para encontrar o vértice é:
x = -1202 times (-1) = 60
Aqui, e , então:

Passo 6

Agora que sabemos que y = 120 - 60 = 60 metros, podemos encontrar :

Resposta

Para maximizar a área cercada com 240 metros de arame, o retângulo deve ter dimensões de 60 metros de comprimento por 60 metros de largura, ou seja, deve ser um quadrado.

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