Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existente. Se, em 2010, a população era de 65.000 habitantes, e após 10 anos (em 2020) é de 70.000 habitantes. Em que ano estima-se que a população atingirá 100.000 habitantes?
Passo 1
O enunciado descreve um crescimento populacional proporcional ao número de habitantes (crescimento exponencial). Em 2010 (t=0) a população era de 65 000 habitantes e em 2020 (t=10) passou a 70 000 habitantes. Precisamos estimar em que ano a população alcançará 100 000 habitantes.
Passo 2
Para modelar o crescimento exponencial, usamos a equação
onde
e
. Substituindo em
, temos
Logo
Passo 3
Agora queremos
tal que
. Usando
obtemos
e portanto
Passo 4
Substituindo
e calculando numericamente:
logo
Isso significa que, a partir de 2010, a população atinge 100 000 habitantes em cerca de 58,3 anos depois.
Passo 5
Adicionando 58,3 anos a 2010, obtemos aproximadamente o ano de 2068.
Resposta
Por volta de 2068.