Sabe-se que a população de determinada cidade cresce a uma taxa proporcional ao número de habitantes existente. Se, em 2010, a população era de 65.000 habitantes, e após 10 anos (em 2020) é de 70.000 habitantes. Em que ano estima-se que a população atingirá 100.000 habitantes?

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento populacional proporcional ao número de habitantes (crescimento exponencial). Em 2010 (t=0) a população era de 65 000 habitantes e em 2020 (t=10) passou a 70 000 habitantes. Precisamos estimar em que ano a população alcançará 100 000 habitantes.

Passo 2

Para modelar o crescimento exponencial, usamos a equação
P(t)=P0e^kt
onde P0=65000 e P(10)=70000. Substituindo em P(10)=65000e^10k=70000, temos
e^10k=7000065000=1413
Logo
k=110ln!gl(1413gr)

Passo 3

Agora queremos t tal que P(t)=100000. Usando
100000=65000e^kt
obtemos
e^kt=10000065000=2013
e portanto
t=1kln!gl(2013gr)

Passo 4

Substituindo k=tfrac110ln(14/13) e calculando numericamente:
ln!l(tfrac1413r)approx0,074083, kapprox0,0074083, ln!l(tfrac2013r)approx0,43178,
logo
tapprox0,431780,0074083approx58,3 anos
Isso significa que, a partir de 2010, a população atinge 100 000 habitantes em cerca de 58,3 anos depois.

Passo 5

Adicionando 58,3 anos a 2010, obtemos aproximadamente o ano de 2068.

Resposta

Por volta de 2068.

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