A função g(x)=a xx+b é a mais adequada para descrever a resposta de crescimento de uma planta em função da adição de fertilizantes x. Analise se g(x) tem ponto crítico e ponto de inflexão para valores de a=20 e b=5 e esboce o gráfico correspondente.

Passo 1

O enunciado pede pra gente analisar pontos críticos (onde g′(x)=0 ou não existe) e pontos de inflexão (onde g″(x)=0) para a função de resposta de crescimento
g(x)=20,xx+5
e depois esboçar o gráfico. Vamos usar conceitos de derivada e concavidade para isso.

Passo 2

Primeiro vamos encontrar a derivada de g usando a regra do quociente. Sejam f(x)=20x e h(x)=x+5 então
g(x)=f(x)h(x)
temos
g'(x)=f'(x),h(x)-f(x),h'(x)[h(x)]^2
Como f’(x)=20 e h’(x)=1,
g'(x)=20(x+5)-20xcdot1(x+5)^2= 20x+100-20x(x+5)^2= 100(x+5)^2

Passo 3

Para achar pontos críticos, igualamos g’(x)=0 ou vemos onde g’ não existe:
– g’(x)=100/(x+5)^2 nunca é zero, pois o numerador é constante 100.
– g’(x) não existe em x=-5, mas esse valor está fora do domínio de interesse (adubação x≥0).
Logo, não há pontos críticos (máximos ou mínimos locais) para x≥0.

Passo 4

Agora vamos à concavidade, ou seja, à segunda derivada. Diferenciando g’(x)=100(x+5)^{-2}:
g''(x)=100cdot(-2)(x+5)^-3=-200(x+5)^3
Para inflexão, igualar g’’(x)=0: o numerador -200≠0, então nunca zera. O sinal de g’’(x) muda em x=-5, mas isso de novo está fora de x≥0.
Portanto não há ponto de inflexão para x≥0; na região relevante g’’(x)<0, isto é, concavidade sempre voltada para baixo.

Passo 5

Com esses resultados, vale esboçar o gráfico para x≥0 assim:
  • Em x=0 temos g(0)=0.
  • g’(x)>0 sempre, então g é estritamente crescente.
  • g’’(x)<0 para x≥0, logo a curva é sempre côncava para baixo.
  • Há assíntota horizontal em y=limₓ→∞20x/(x+5)=20.
  • Há assíntota vertical em x=-5 (fora da região x≥0, mas dá contexto).
O esboço sai como uma curva que começa em (0,0), cresce de forma desacelerada e se aproxima de y=20.

Passo 6

No domínio de fertilizantes (x≥0), concluímos que não aparecem extremos nem pontos de inflexão. A planta cresce de forma monótona e com concavidade para baixo, tendendo a um limite de resposta de 20 conforme adicionamos muito fertilizante.

Resposta

Não há ponto crítico (g′(x)≠0 em x≥0) e não há ponto de inflexão (g″(x)≠0 em x≥0). A curva é crescente, côncava para baixo e tende à assíntota horizontal y=20.

Exercícios relacionados