Um dispositivo eletrônico tem tempo de
vida (em horas) modelado por uma distribuição exponencial com média 500.
  1. Determine o parâmetro \lambda.
  2. Calcule a probabilidade de o dispositivo durar mais de 800 horas.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de vida do dispositivo (em horas) segue uma distribuição exponencial com média 500. São pedidas duas coisas:
  1. Determinar o parâmetro \lambda.
  2. Calcular a probabilidade de o dispositivo durar mais de 800 horas, isto é, \mathbb{P}(T>800).
Informações dadas e relevantes:
  • Tempo de vida T tem distribuição exponencial.
  • Média (esperança) \mathbb{E}[T]=500 horas.
  • Queremos \lambda e \mathbb{P}(T>800).

Passo 2

O que é a distribuição exponencial e quais fórmulas usar (aula curta e prática).
  • A exponencial com parâmetro \lambda>0 tem função densidade de probabilidade (pdf)
f_T(t)=\lambda e^{-\lambda t},\qquad t\ge 0.
Aqui \lambda é a taxa (unidade: 1/hora). A interpretação intuitiva: quanto maior \lambda, mais “curta” tende a ser a vida média.
  • A função sobrevivência (probabilidade de durar mais que t) é
\mathbb{P}(T>t)=\int_{t}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}\,dx=e^{-\lambda t}.
Essa fórmula é muito útil porque nos dá diretamente \mathbb{P}(T>800).
  • A esperança (média) da exponencial é
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Vou mostrar rapidinho por que isso vale 1/\lambda (é curto e importante para entender de onde vem \lambda).

Passo 3

Cálculo da esperança \mathbb{E}[T] (derivação por partes, passo a passo).
Queremos calcular
\mathbb{E}[T]=\int_{0}^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Use integração por partes: escolha u=t e dv=\lambda e^{-\lambda t}\,dt.
Então du=dt e v=-e^{-\lambda t} porque \frac{d}{dt}(-e^{-\lambda t})=\lambda e^{-\lambda t}.
Pela fórmula de integração por partes,
\int_{0}^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt = \big[ t(-e^{-\lambda t})\big]_{0}^{\infty} - \int_{0}^{\infty}(-e^{-\lambda t})\,dt.
Avaliaremos os termos:
  • O termo \lim_{t\to\infty} t e^{-\lambda t}=0 (exponencial domina polinomial), e em t=0 o termo é 0. Então o primeiro colchete dá 0-0=0.
  • O segundo integral é
\int_{0}^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt = \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda t}\right]_{0}^{\infty} = \frac{1}{\lambda}.
Portanto
\mathbb{E}[T]=\frac{1}{\lambda}.
Essa é a relação-chave: média = inverso de \lambda.

Passo 4

Determinar \lambda usando a informação da média.
Sabemos que \mathbb{E}[T]=500 e que \mathbb{E}[T]=1/\lambda. Então
\frac{1}{\lambda}=500 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{500}.
Escrevendo numericamente com separador decimal em vírgula:
\lambda=\frac{1}{500}=0,002\\ \text{(por hora)}.

Passo 5

Calcular \mathbb{P}(T>800) usando a função sobrevivência.
Usamos a fórmula
\mathbb{P}(T>t)=e^{-\lambda t}.
Substituindo \lambda=1/500 e t=800:
\mathbb{P}(T>800)=e^{-\frac{1}{500}\cdot 800}=e^{-1{,}6}.
Agora um valor numérico aproximado. Sabemos que e^{-1{,}6}\approx 0{,}2019 (porque e^{-1{,}6}=e^{-1}\cdot e^{-0{,}6}\approx 0{,}3679\cdot 0{,}5488\approx 0{,}2019).
Logo a probabilidade de durar mais que 800 horas é aproximadamente 0{,}2019, isto é cerca de 20{,}19\%.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo (motivação para a prova).
  • Resultado prático: o parâmetro \lambda é pequeno ( 0{,}002/h), indicando vida média longa (500 h).
  • A chance de ultrapassar 800 h é cerca de 20\%. Se fosse preciso comparar com outras durações, use sempre \mathbb{P}(T>t)=e^{-\lambda t} — é a maneira mais direta.
    Vai dar certo na prova — controle os passos: reconhecer exponencial, lembrar \mathbb{E}[T]=1/\lambda e usar e^{-\lambda t} para probabilidades de sobrevivência. Força aí!

Resposta

  1. \lambda=\dfrac{1}{500}=0,002 por hora.
  2. \mathbb{P}(T>800)=e^{-1{,}6}\approx 0,2019.

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