Um dispositivo eletrônico tem tempo de
vida (em horas) modelado por uma distribuição exponencial com média 500.
- Determine o parâmetro
.
- Calcule a probabilidade de o dispositivo durar mais de 800 horas.
vida (em horas) modelado por uma distribuição exponencial com média 500.
Passo 1
O enunciado diz que o tempo de vida do dispositivo (em horas) segue uma distribuição exponencial com média
. São pedidas duas coisas:
- Determinar o parâmetro
. - Calcular a probabilidade de o dispositivo durar mais de
horas, isto é, .
Informações dadas e relevantes:
- Tempo de vida
tem distribuição exponencial. - Média (esperança)
horas. - Queremos
e .
Passo 2
O que é a distribuição exponencial e quais fórmulas usar (aula curta e prática).
- A exponencial com parâmetro
tem função densidade de probabilidade (pdf)
Aqui
é a taxa (unidade: 1/hora). A interpretação intuitiva: quanto maior
, mais “curta” tende a ser a vida média.
- A função sobrevivência (probabilidade de durar mais que
) é
Essa fórmula é muito útil porque nos dá diretamente
.
- A esperança (média) da exponencial é
Vou mostrar rapidinho por que isso vale
(é curto e importante para entender de onde vem
).
Passo 3
Cálculo da esperança
(derivação por partes, passo a passo).
Queremos calcular
Queremos calcular
Use integração por partes: escolha
e
.
Então e
porque
.
Pela fórmula de integração por partes,
Então
Pela fórmula de integração por partes,
Avaliaremos os termos:
- O termo
(exponencial domina polinomial), e em o termo é . Então o primeiro colchete dá . - O segundo integral é
Portanto
Essa é a relação-chave: média
inverso de
.
Passo 4
Determinar
usando a informação da média.
Sabemos que e que
. Então
Sabemos que
Escrevendo numericamente com separador decimal em vírgula:
Passo 5
Calcular
usando a função sobrevivência.
Usamos a fórmula
Usamos a fórmula
Substituindo
e
:
Agora um valor numérico aproximado. Sabemos que
(porque
).
Logo a probabilidade de durar mais que horas é aproximadamente
, isto é cerca de
.
Logo a probabilidade de durar mais que
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo (motivação para a prova).
- Resultado prático: o parâmetro
é pequeno ( /h), indicando vida média longa (500 h). - A chance de ultrapassar 800 h é cerca de
. Se fosse preciso comparar com outras durações, use sempre — é a maneira mais direta.
Vai dar certo na prova — controle os passos: reconhecer exponencial, lembrare usar para probabilidades de sobrevivência. Força aí!
Resposta
-
por hora. -
.