Suponha que o número de falhas em um sistema por mês segue Poisson
.
Seja Y o número total de falhas em 4 meses.
- Qual a distribuição de Y?
- Calcule
.
Seja Y o número total de falhas em 4 meses.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: o número de falhas em um sistema por mês segue uma distribuição Poisson com parâmetro
. - Informação implícita: queremos o total de falhas em 4 meses, então estamos somando as contagens de 4 meses (assumimos os meses independentes e com mesma distribuição).
- Definição da variável de interesse:
é o número total de falhas em 4 meses, ou seja onde cada é o número de falhas no mês . - Pergunta 1: Qual é a distribuição de
? - Pergunta 2: Calcule
.
Passo 2
Vamos entender uma propriedade essencial que usamos aqui (vou explicar passo a passo como pensar nisso na prova).
Propriedade (que você pode invocar sem decorar provas pesadas): a soma de variáveis aleatórias independentes que seguem Poisson é também Poisson, com parâmetro igual à soma dos parâmetros. Mais precisamente, se
e os
são independentes, então
Explicação intuitiva curta: a Poisson conta “eventos por unidade” e somar contagens independentes de blocos disjuntos (aqui meses disjuntos) dá outra Poisson cuja taxa é a soma das taxas. Se quiser uma justificativa técnica, pode ver pela função geradora de momento (MGF) ou pela convolução dos PMFs — ambos levam à soma dos parâmetros.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao nosso caso:
Cada mês tem Poisson com parâmetro
. Somando 4 meses independentes, o parâmetro total é
Portanto
Também é útil lembrar que, para
, a média é
e a variância é
. Aqui
e
.
Passo 4
Agora vamos calcular
. A maneira exata seria usar a fórmula do PMF da Poisson e somar:
Isso é correto, mas somar manualmente nove termos com potências e fatoriais é trabalhoso sem calculadora. Em provas, quando
é moderadamente grande (regra prática:
), costuma-se usar a aproximação normal com correção de continuidade para um resultado rápido e suficientemente preciso. Vou mostrar esse método didaticamente.
Passo 5
A aproximação normal para Poisson: se
e
é grande, então
pode ser aproximada por uma normal com média
e variância
, ou seja
No nosso caso
e
.
Como estamos aproximando uma variável discreta por uma contínua, usamos a correção de continuidade: para aproximar
usamos
, onde o
é a correção de continuidade (transita do ponto 9 discreto para o meio do intervalo entre 9 e 10).
Passo 6
Calculemos os valores numéricos passo a passo.
- Primeiro a raiz de
:
- O valor padronizado (z) para
com correção de continuidade:
- Agora usamos a função de distribuição da normal padrão
. Pela simetria da normal,
Consultando uma tabela da normal padrão ou usando aproximação,
. Então
- Finalmente,
Passo 7
Interpretação e checagem rápida: pelo método exato teríamos
que dará um valor muito próximo de
. A aproximação normal com correção de continuidade é adequada aqui porque
não é pequeno; a aproximação tende a ficar bastante boa. Se a prova pede valor exato e você tiver tabela/ calculadora, some os termos exatos; caso não, use a aproximação que demonstrei e anote que é aproximação.