Suponha que o número de falhas em um sistema por mês segue Poisson (\lambda=3).
Seja Y o número total de falhas em 4 meses.
  1. Qual a distribuição de Y?
  2. Calcule P(Y \geq 10).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: o número de falhas em um sistema por mês segue uma distribuição Poisson com parâmetro \lambda=3.
  • Informação implícita: queremos o total de falhas em 4 meses, então estamos somando as contagens de 4 meses (assumimos os meses independentes e com mesma distribuição).
  • Definição da variável de interesse: Y é o número total de falhas em 4 meses, ou seja Y = X_1 + X_2 + X_3 + X_4 onde cada X_i é o número de falhas no mês i.
  • Pergunta 1: Qual é a distribuição de Y?
  • Pergunta 2: Calcule P(Y \geq 10).

Passo 2

Vamos entender uma propriedade essencial que usamos aqui (vou explicar passo a passo como pensar nisso na prova).
Propriedade (que você pode invocar sem decorar provas pesadas): a soma de variáveis aleatórias independentes que seguem Poisson é também Poisson, com parâmetro igual à soma dos parâmetros. Mais precisamente, se X_i \sim \text{Poisson}(\lambda_i) e os X_i são independentes, então
\sum_i X_i \sim \text{Poisson}\!\Big(\sum_i \lambda_i\Big).
Explicação intuitiva curta: a Poisson conta “eventos por unidade” e somar contagens independentes de blocos disjuntos (aqui meses disjuntos) dá outra Poisson cuja taxa é a soma das taxas. Se quiser uma justificativa técnica, pode ver pela função geradora de momento (MGF) ou pela convolução dos PMFs — ambos levam à soma dos parâmetros.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso caso:
Cada mês tem Poisson com parâmetro \lambda=3. Somando 4 meses independentes, o parâmetro total é
4\lambda = 4\cdot 3 = 12.
Portanto
Y \sim \text{Poisson}(12).
Também é útil lembrar que, para \text{Poisson}(\lambda), a média é \mathbb{E}[Y]=\lambda e a variância é \operatorname{Var}(Y)=\lambda. Aqui \mathbb{E}[Y]=12 e \operatorname{Var}(Y)=12.

Passo 4

Agora vamos calcular P(Y\ge 10). A maneira exata seria usar a fórmula do PMF da Poisson e somar:
P(Y\ge 10)=1-P(Y\le 9)=1-\sum_{k=0}^{9} e^{-12}\frac{12^k}{k!}.
Isso é correto, mas somar manualmente nove termos com potências e fatoriais é trabalhoso sem calculadora. Em provas, quando \lambda é moderadamente grande (regra prática: \lambda\gtrsim 10), costuma-se usar a aproximação normal com correção de continuidade para um resultado rápido e suficientemente preciso. Vou mostrar esse método didaticamente.

Passo 5

A aproximação normal para Poisson: se Y\sim\text{Poisson}(\lambda) e \lambda é grande, então Y pode ser aproximada por uma normal com média \mu=\lambda e variância \sigma^2=\lambda, ou seja
Y \approx N(\mu=\lambda,\;\sigma^2=\lambda).
No nosso caso \mu=12 e \sigma=\sqrt{12}.
Como estamos aproximando uma variável discreta por uma contínua, usamos a correção de continuidade: para aproximar P(Y\le 9) usamos P(Y\le 9) \approx P\big(Z \le \dfrac{9{,}5-\mu}{\sigma}\big), onde o +0{,}5 é a correção de continuidade (transita do ponto 9 discreto para o meio do intervalo entre 9 e 10).

Passo 6

Calculemos os valores numéricos passo a passo.
  • Primeiro a raiz de \lambda:
\sigma=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx 3{,}464\quad\text{(porque \(\sqrt{3}\approx 1{,}732\))}.
  • O valor padronizado (z) para P(Y\le 9) com correção de continuidade:
z=\frac{9{,}5-\mu}{\sigma}=\frac{9{,}5-12}{\sqrt{12}}=\frac{-2{,}5}{3{,}464}\approx -0{,}7217.
  • Agora usamos a função de distribuição da normal padrão \Phi. Pela simetria da normal,
\Phi(-0{,}7217)=1-\Phi(0{,}7217).
Consultando uma tabela da normal padrão ou usando aproximação, \Phi(0{,}7217)\approx 0{,}7646. Então
P(Y\le 9)\approx \Phi(-0{,}7217)\approx 1-0{,}7646=0{,}2354.
  • Finalmente,
P(Y\ge 10)=1-P(Y\le 9)\approx 1-0{,}2354=0{,}7646.

Passo 7

Interpretação e checagem rápida: pelo método exato teríamos
P(Y\ge 10)=1-\sum_{k=0}^{9} e^{-12}\frac{12^k}{k!},
que dará um valor muito próximo de 0{,}7646. A aproximação normal com correção de continuidade é adequada aqui porque \lambda=12 não é pequeno; a aproximação tende a ficar bastante boa. Se a prova pede valor exato e você tiver tabela/ calculadora, some os termos exatos; caso não, use a aproximação que demonstrei e anote que é aproximação.

Resposta

Y \sim \text{Poisson}(12)\n
P(Y \geq 10) \approx 0{,}7646

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