O enunciado dá que a variável aleatória X é uniforme no intervalo [2,8]. As perguntas são:
Determinar E[X] e \operatorname{Var}(X).
Calcular P(3 \leq X \leq 5).
Informações dadas que usaremos: a função densidade de probabilidade (pdf) de X é constante em [2,8] e é zero fora desse intervalo.
Passo 2
Vamos escrever explicitamente a densidade de X. Para uma distribuição uniforme contínua em [a,b] a densidade é constante igual a 1/(b-a) dentro do intervalo. Aqui a=2 e b=8. Portanto a densidade é
e f(x)=0 fora de [2,8].
Explicação rápida do que isso significa: a densidade f(x) é tal que a probabilidade de X cair em um subintervalo [c,d]\subset[2,8] é \int_{c}^{d} f(x)\,dx. Como f é constante, essa probabilidade é simplesmente (d-c)/(b-a).
Passo 3
Agora vamos calcular a esperança E[X] usando a definição para variáveis contínuas:
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Como f(x)=\tfrac{1}{6} apenas no intervalo [2,8], isso vira
Comentário de memorização: para uniforme [a,b] a fórmula direta é \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}. Aqui (8-2)^{2}/12=36/12=3, mesmo resultado.
Passo 6
Calcule P(3\le X\le 5). Pelo fato da densidade ser constante,