Seja X ~Uniforme[2,8].
  1. Determine E[X] e \operatorname{Var}(X).
  2. Calcule P(3 \leq X \leq 5).

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória X é uniforme no intervalo [2,8]. As perguntas são:
  1. Determinar E[X] e \operatorname{Var}(X).
  2. Calcular P(3 \leq X \leq 5).
    Informações dadas que usaremos: a função densidade de probabilidade (pdf) de X é constante em [2,8] e é zero fora desse intervalo.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a densidade de X. Para uma distribuição uniforme contínua em [a,b] a densidade é constante igual a 1/(b-a) dentro do intervalo. Aqui a=2 e b=8. Portanto a densidade é
f(x)=\frac{1}{8-2}=\frac{1}{6}\quad\text{para }2\le x\le 8,
e f(x)=0 fora de [2,8].
Explicação rápida do que isso significa: a densidade f(x) é tal que a probabilidade de X cair em um subintervalo [c,d]\subset[2,8] é \int_{c}^{d} f(x)\,dx. Como f é constante, essa probabilidade é simplesmente (d-c)/(b-a).

Passo 3

Agora vamos calcular a esperança E[X] usando a definição para variáveis contínuas:
E[X]=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx.
Como f(x)=\tfrac{1}{6} apenas no intervalo [2,8], isso vira
E[X]=\int_{2}^{8} x\cdot\frac{1}{6}\,dx=\frac{1}{6}\int_{2}^{8} x\,dx.
Calcule a integral:
\int_{2}^{8} x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{2}^{8}=\frac{8^{2}}{2}-\frac{2^{2}}{2}=\frac{64}{2}-\frac{4}{2}=32-2=30.
Logo
E[X]=\frac{1}{6}\cdot 30=\frac{30}{6}=5.
Comentário útil para prova: para uniforme [a,b] você também pode usar a fórmula direta E[X]=\tfrac{a+b}{2}, que dá \tfrac{2+8}{2}=5.

Passo 4

Para a variância usamos a identidade
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2},
pois por definição \operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^{2}\big] e expandindo obtém-se a fórmula acima. Então precisamos de E[X^{2}].

Passo 5

Calcule E[X^{2}] pela integral:
E[X^{2}]=\int_{2}^{8} x^{2}\cdot\frac{1}{6}\,dx=\frac{1}{6}\int_{2}^{8} x^{2}\,dx.
Compute a integral:
\int_{2}^{8} x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{2}^{8}=\frac{8^{3}}{3}-\frac{2^{3}}{3}=\frac{512}{3}-\frac{8}{3}=\frac{504}{3}=168.
Então
E[X^{2}]=\frac{1}{6}\cdot 168=\frac{168}{6}=28.
Agora a variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}=28-5^{2}=28-25=3.
Comentário de memorização: para uniforme [a,b] a fórmula direta é \operatorname{Var}(X)=\dfrac{(b-a)^{2}}{12}. Aqui (8-2)^{2}/12=36/12=3, mesmo resultado.

Passo 6

Calcule P(3\le X\le 5). Pelo fato da densidade ser constante,
P(3\le X\le 5)=\int_{3}^{5} \frac{1}{6}\,dx=\frac{1}{6}(5-3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Observação para a prova: em variáveis contínuas a inclusão dos extremos (≤ ou <) não altera a probabilidade, então P(3\le X\le 5)=P(3< X <5).

Resposta

E[X]=5,\\ \operatorname{Var}(X)=3
P(3\le X\le 5)=\tfrac{1}{3}

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