Um aluno faz uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e apenas uma correta. Se ele chuta todas as respostas, qual a probabilidade de acertar pelo menos uma questão?

Passo 1

Enunciado e dados importantes: \n
O problema diz que há \,10\, questões de múltipla escolha, cada uma com \,5\, alternativas e apenas \,1\, correta. O aluno chuta todas as respostas (ou seja, escolhe aleatoriamente). A pergunta é: qual a probabilidade de ele acertar pelo menos \,1\, questão?

Passo 2

Ideia principal (regra do complementar): \n
É mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar. Definimos o evento A = “acertar pelo menos uma questão”. O complementar de A é A^{c} = “acertar zero questões” (ou seja, errar todas). A regra do complementar diz:
P(A)=1-P(A^{c}).
Vou usar isso porque calcular “pelo menos um acerto” diretamente dá uma soma de vários termos; calcular “nenhum acerto” costuma ser bem mais simples.

Passo 3

Probabilidades por questão e independência: \n
Como o aluno está chutando, a probabilidade de acertar uma questão é
p=\frac{1}{5},
pois há \,1\, alternativa correta entre \,5\,. Logo a probabilidade de errar uma questão é
1-p=\frac{4}{5}.
Assumimos que os palpites em cada questão são independentes (o resultado de uma não afeta o de outra). Para A^{c} — errar todas as \,10\, questões — multiplicamos as probabilidades de erro:
P(A^{c})=\left(\frac{4}{5}\right)^{10}.

Passo 4

Cálculo da potência em forma de fração: \n
Calculo os numeradores e denominadores separadamente:
4^{2}=16,\quad 4^{3}=64,\quad 4^{4}=256,\quad 4^{5}=1024,
portanto
4^{10}=(4^{5})^{2}=1024^{2}=1\,048\,576.
Para a base \,5\,:
5^{5}=3125,\quad 5^{10}=(5^{5})^{2}=3125^{2}=9\,765\,625.
Assim
P(A^{c})=\frac{1\,048\,576}{9\,765\,625}.

Passo 5

Aplicando o complementar e obtendo a forma exata: \n
Usando P(A)=1-P(A^{c}),
P(\text{acertar pelo menos uma})=1-\frac{1\,048\,576}{9\,765\,625}=\frac{9\,765\,625-1\,048\,576}{9\,765\,625}=\frac{8\,717\,049}{9\,765\,625}.

Passo 6

Aproximação decimal e interpretação: \n
Calculando a aproximação decimal:
\left(\frac{4}{5}\right)^{10}=0,1073741824\quad\text{e então}\quad 1-0,1073741824=0,8926258176\approx0,8926.ã
Em porcentagem isso dá aproximadamente 89,26\%. Intuitivamente: mesmo chutando, é bem provável (cerca de 89{,}3\%) acertar ao menos uma entre \,10\, questões quando a chance por questão é \,20\%.

Resposta

\displaystyle 1-\left(\frac{4}{5}\right)^{10}=\frac{8\,717\,049}{9\,765\,625}
\approx 0,8926 ( \approx 89{,}26\%)

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