Um aluno faz uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada uma com 5 alternativas e apenas uma correta. Se ele chuta todas as respostas, qual a probabilidade de acertar pelo menos uma questão?
Passo 1
Enunciado e dados importantes: \n
O problema diz que há questões de múltipla escolha, cada uma com
alternativas e apenas
correta. O aluno chuta todas as respostas (ou seja, escolhe aleatoriamente). A pergunta é: qual a probabilidade de ele acertar pelo menos
questão?
O problema diz que há
Passo 2
Ideia principal (regra do complementar): \n
É mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar. Definimos o evento = “acertar pelo menos uma questão”. O complementar de
é
= “acertar zero questões” (ou seja, errar todas). A regra do complementar diz:
É mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar. Definimos o evento
Vou usar isso porque calcular “pelo menos um acerto” diretamente dá uma soma de vários termos; calcular “nenhum acerto” costuma ser bem mais simples.
Passo 3
Probabilidades por questão e independência: \n
Como o aluno está chutando, a probabilidade de acertar uma questão é
Como o aluno está chutando, a probabilidade de acertar uma questão é
pois há
alternativa correta entre
. Logo a probabilidade de errar uma questão é
Assumimos que os palpites em cada questão são independentes (o resultado de uma não afeta o de outra). Para
— errar todas as
questões — multiplicamos as probabilidades de erro:
Passo 4
Cálculo da potência em forma de fração: \n
Calculo os numeradores e denominadores separadamente:
Calculo os numeradores e denominadores separadamente:
portanto
Para a base
:
Assim
Passo 5
Aplicando o complementar e obtendo a forma exata: \n
Usando ,
Usando
Passo 6
Aproximação decimal e interpretação: \n
Calculando a aproximação decimal:
Calculando a aproximação decimal:
Em porcentagem isso dá aproximadamente
. Intuitivamente: mesmo chutando, é bem provável (cerca de
) acertar ao menos uma entre
questões quando a chance por questão é
.