Em um dispositivo semicondutor, uma camada de óxido forma uma barreira com 0.5 nm de largura e 10 V de altura entre os dois fios condutores. Elétrons chegam a barreira depois de serem acelerados por uma tensão de 5 V , partindo aproximadamente do repouso.
(i) Qual fração dos elétrons incidentes consegue atravessar a barreira por tunelamento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um dispositivo semicondutor com uma barreira de óxido entre dois fios condutores. A barreira tem 0,5 nm de largura e 10 V de altura. Os elétrons chegam até a barreira depois de serem acelerados por uma tensão de 5 V, partindo do repouso. Nosso objetivo aqui é descobrir qual fração desses elétrons consegue atravessar a barreira por meio de tunelamento quântico. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de tunelamento quântico e usar a aproximação de WKB para calcular a probabilidade de túnel.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a energia dos elétrons quando chegam à barreira. Eles são acelerados por uma tensão de 5 V, o que significa que a energia cinética adquirida pelos elétrons é dada por:
E = eV
onde $ e $ é a carga do elétron ($ 1,6 \times 10^{-19} $ C) e $ V $ é a tensão (5 V). Assim, a energia dos elétrons é:
e

Passo 3

Agora, vamos aplicar a aproximação de WKB para calcular a probabilidade de túnel ($ T $). A fórmula para $ T $ é:
T
onde
T
Aqui, $ m $ é a massa do elétron ($ 9,11 \times 10^{-31} $ kg), $ V(x) $ é a potencial da barreira (10 V), $ E $ é a energia do elétron (5 V), e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ 1,05 \times 10^{-34} $ J·s). A largura da barreira é $ b - a = 0,5 $ nm ($ 0,5 \times 10^{-9} $ m).
Vamos simplificar a expressão assumindo que $ V(x) - E = \Delta V = 10 , V - 5 , V = 5 , V $:
T approx e^-2 gamma
Convertendo as tensões para energia:
gamma = integrala^b raiz2m(V(x) - E)hbar^2 , dx
Então,
m

Passo 4

Vamos calcular $ \gamma $:
Primeiro, calcule o numerador dentro da raiz:
gamma
Agora, o denominador:
2 times 9,11 times 10^-31 times 8 times 10^-19 = 1,4576 times 10^-48 , kg·J
Então,
(1,05 times 10^-34)^2 = 1,1025 times 10^-68 , J^2s^2
Calculando a fração:
gamma = raiz1,4576 times 10^-481,1025 times 10^-68 times 0,5 times 10^-9
Então,
1,4576 times 10^-481,1025 times 10^-68 approx 1,321 times 10^20
Agora, a probabilidade de túnel:
gamma = raiz1,321 times 10^20 times 0,5 times 10^-9 = 1,149 times 10^10 times 0,5 times 10^-9 = 5,745

Resposta

A fração dos elétrons incidentes que consegue atravessar a barreira por tunelamento é aproximadamente $ 1,03 \times 10^{-5} $, ou seja, cerca de 0,001% dos elétrons conseguem passar pela barreira.

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