Se um nêutron com 22,4 MeV de energia cinética encontrar uma barreira de potencial retangular com 36,2 MeV de altura e largura de 8,4 fm ( f é o prefixo para femto, que vale 10^-15 ), qual será a probabilidade de que o nêutron seja capaz de tunelar através da barreira?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de mecânica quântica relacionado ao efeito túnel. O enunciado nos apresenta um nêutron com energia cinética de 22,4, MeV que encontra uma barreira de potencial retangular com altura de 36,2, MeV e largura de 8,4, fm. Nosso objetivo é determinar a probabilidade de o nêutron tunelar através dessa barreira.
Para resolver esse problema, vamos precisar entender o conceito de tunelamento quântico e usar a fórmula que calcula a probabilidade de transmissão através de uma barreira de potencial. Vamos considerar as massas e constantes relevantes no cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores dados:
  • Energia cinética do nêutron, $ E = 22,4, \mathrm{MeV} $
  • Altura da barreira de potencial, $ V_0 = 36,2, \mathrm{MeV} $
  • Largura da barreira, $ L = 8,4, \mathrm{fm} = 8,4 \times 10^{-15}, \mathrm{m} $
  • Massa do nêutron, $ m = 1,675 \times 10^{-27}, \mathrm{kg} $

Passo 3

O efeito túnel ocorre quando uma partícula tem uma probabilidade de atravessar uma barreira de potencial mesmo que sua energia seja menor que a altura da barreira. A probabilidade de tunelamento $ T $ pode ser estimada pela fórmula:
T
onde $ \gamma $ é dado por:
T approx e^-2 gamma L
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ \hbar = 1,055 \times 10^{-34}, \mathrm{J \cdot s} $.

Passo 4

Vamos calcular $ V_0 - E $:
V0 - E
Precisamos converter essa energia para joules:
V0 - E = 36,2, MeV - 22,4, MeV = 13,8, MeV

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \gamma $:
gamma
Calculando o numerador:
gamma = raiz2m(V0 - E)hbar^2 = raiz2 times 1,675 times 10^-27, kg times 2,21 times 10^-12, J(1,055 times 10^-34, J cdot s)^2
Calculando o denominador:
2 times 1,675 times 10^-27 times 2,21 times 10^-12 approx 7,41 times 10^-39, kg cdot J
Portanto:
(1,055 times 10^-34)^2 approx 1,113 times 10^-68, J^2 cdot s^2

Passo 6

Agora que temos $ \gamma $, podemos calcular a probabilidade de tunelamento $ T $:
gamma
Calculando o expoente:
T
Então:
T approx e^-2 gamma L = e^-2 times 8,16 times 10^14, m^-1 times 8,4 times 10^-15, m

Resposta

A probabilidade de o nêutron tunelar através da barreira é aproximadamente 1,1 times 10^-6, ou seja, cerca de 0,00011%.

Exercícios relacionados