Disputa entre um carro e uma motocicleta. Um vídeo que fez sucesso na internet mostra uma corrida disputada por um avião a jato, um carro e uma motocicleta, partindo do repouso, na pista de um aeroporto. A motocicleta parte na frente, mas logo é ultrapassada pelo jato e depois também é ultrapassada pelo carro. Considere a disputa entre a motocicleta e o carro. A aceleração constante da motocicleta, am=8,40 m / s^2, é maior que a aceleração constante do carro, ac=5,60 m / s^2, mas a velocidade máxima da motocicleta, vm=58,8 m / s, é menor que a velocidade máxima do carro, vC=106 m / s. Suponha que o carro e a motocicleta estão se movendo no sentido positivo do eixo x e que seus pontos médios estão em x=0 no instante t=0. Em que (a) instante os pontos médios do carro e da motocicleta voltam a ficar alinhados?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma disputa de corrida entre uma motocicleta e um carro que partem do repouso. A motocicleta tem uma aceleração constante maior que a do carro, mas sua velocidade máxima é menor. Queremos descobrir em que instante os dois veículos voltam a ficar alinhados na pista, ou seja, quando estarão na mesma posição novamente.
Para resolver isso, vamos usar princípios de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Precisaremos calcular as posições dos dois veículos em função do tempo e encontrar o momento em que essas posições se igualam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada veículo se movimenta. Ambos partem do repouso, então a posição inicial para os dois é .
  • Motoque:
    • Aceleração constante: ²
    • Velocidade máxima:
    • O tempo para atingir a velocidade máxima:
  • Carro:
    • Aceleração constante: ²
    • Velocidade máxima:
    • O tempo para atingir a velocidade máxima:

Passo 3

Vamos dividir o movimento em dois períodos para simplificar:
  1. Antes de 7 segundos: Ambos estão acelerando.
  2. Entre 7 e 18,93 segundos: A motocicleta já atingiu sua velocidade máxima e continua se movendo a essa velocidade, enquanto o carro ainda está acelerando.

Passo 4

No período entre 7 e 18,93 segundos, a posição da motocicleta ( xm(t) = xm(tm) + vm cdot (t - tm) ) pode ser calculada como:
xm(tm) = 12 am tm² = 12 times 8,40 times 7² = 205,8 , m
Onde xm(t) = 205,8 + 58,8 cdot (t - 7) é a posição da motocicleta aos 7 segundos:
²²
Então,

Passo 5

Para o carro, que ainda está acelerando nesse período, a posição ( xc(t) = 12 ac t² = 12 times 5,60 times t² = 2,8 t² ) é:
²²²

Passo 6

Queremos encontrar o tempo xm(t) = xc(t) em que as posições são iguais:
205,8 + 58,8 (t - 7) = 2,8 t²
Substituindo as expressões:
205,8 + 58,8t - 411,6 = 2,8 t² ²
Simplificando:
58,8t - 205,8 = 2,8 t² ²
2,8 t² - 58,8t + 205,8 = 0 ²
t² - 21t + 73,5 = 0 ²
Dividindo todos os termos por 2,8 para simplificar:
²

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática t = 21 pm raiz21² - 4 times 1 times 73,52 ² usando a fórmula de Bhaskara:
t = 21 pm raiz441 - 2942 ²
t = 21 pm raiz1472
t approx 21 pm 12,1242
t1 approx 21 + 12,1242 approx 16,56 , s
Obtemos duas soluções:
t2 approx 21 - 12,1242 approx 4,44 , s
Como é menor que 7 segundos, descartamos essa solução, pois estamos considerando o período entre 7 e 18,93 segundos.

Resposta

Os pontos médios do carro e da motocicleta voltam a ficar alinhados aproximadamente 16,56 segundos após o início da corrida.

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