Uma partícula animada em um MHS possui freqüência de oscilação de 10 Hz entre os pontos
horizontalmente. No instante
, a partícula está no ponto
e atinge o ponto
no instante t. Qual o tempo gasto para este deslocamento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que está fazendo um Movimento Harmônico Simples (MHS) com frequência de 10 Hz, oscillando entre os pontos $ L $ e $ -L $ na horizontal. No tempo inicial $ t_0 $, ela está no ponto $ \frac{\sqrt{3}}{2} L $ e depois alcança o ponto $ -\frac{\sqrt{2}}{2} L $ no tempo $ t $. Queremos descobrir quanto tempo essa partícula demorou para ir de um ponto ao outro.
Para resolver isso, vamos precisar entender algumas fórmulas do MHS, como a equação da posição em função do tempo, e como relacionar a frequência com o período e a velocidade angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no Movimento Harmônico Simples, a posição da partícula em qualquer instante $ t $ pode ser descrita pela equação:
Onde:
- $ A $ é a amplitude do movimento.
- $ \omega $ é a velocidade angular, que está relacionada com a frequência $ f $ pela fórmula $ \omega = 2\pi f $.
- $ \phi $ é a fase inicial.
No nosso caso, a amplitude $ A $ é igual a $ L $, já que a partícula oscila entre $ L $ e $ -L $.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade angular $ \omega $. Sabemos que a frequência $ f $ é 10 Hz, então:
Passo 4
Agora, vamos usar os pontos dados para encontrar as fases nos instantes $ t_0 $ e $ t $.
No instante $ t_0 $, a posição é $ \frac{\sqrt{3}}{2} L $:
Dividindo ambos os lados por $ L $:
Sabemos que $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, então:
Passo 5
No instante $ t $, a posição é $ -\frac{\sqrt{2}}{2} L $:
Dividindo por $ L $:
Sabemos que $ \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $, então:
Passo 6
Agora temos duas equações:
- $ \omega t_0 + \phi = \frac{\pi}{6} $
- $ \omega t + \phi = \frac{3\pi}{4} $
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar $ \phi $:
Simplificando:
Agora, isolamos $ t - t_0 $:
Substituindo $ \omega = 20\pi $:
Resposta
O tempo gasto para o deslocamento da partícula é de $ \frac{7}{240} $ segundos, ou aproximadamente 0,0292 segundos.