(2,0) Disserte sobre o tema Séries Numéricas. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
  • Definição e exemplos,
  • Critério da Comparação,
  • Testes de d’ Alembert e de Cauchy,
  • Regra de Leibniz,
  • Séries absolutamente convergentes e condicionalmente convergentes.

Passo 1

O enunciado pede uma dissertação sobre Séries Numéricas, cobrindo definição e exemplos, Critério da Comparação, Testes de d’Alambert e de Cauchy, Regra de Leibniz e distinção entre convergência absoluta e condicional. Vamos estruturar a exposição em blocos didáticos para cada tópico, explicando a teoria, dando exemplos e ligando um conceito ao outro.

Passo 2

Definição e exemplos
Uma série numérica é a soma infinita dos termos de uma sequência (an). Escrevemos
sumn=1^infty an
e definimos a n-ésima soma parcial
Sn = sumk=1^n ak
Dizemos que a série converge se o limite
limntoinfty Sn = S
existe e é finito; caso contrário, a série diverge.
Exemplo 1: Série geométrica
sumn=0^infty r^n,
que converge para tfrac11-r sempre que |r|<1.
Exemplo 2: Série harmônica
sumn=1^infty 1n,
que diverge porque Snapproxln ntoinfty.

Passo 3

Critério da Comparação
1. Comparação Direta. Se 0<= an<= bn para todo n suficientemente grande e sum bn converge, então sum an também converge. Do mesmo modo, se sum an diverge e an>= bn>=0, então sum bn diverge.
2. Comparação por Limite. Se an>0, bn>0 e
L = limntoinfty anbn
existe com 0<L<infty, então sum an e sum bn têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Exemplo: Para testar sum 1n^2+1 usamos comparação com sum1n^2, sabendo que sum n^-2 converge.

Passo 4

Testes de d’Alambert e de Cauchy
1. d’Alambert (Razão). Para anneq0, define-se
L = limntoinfty |an+1an|
Se L<1, a série sum an converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
Exemplo: sum tfrac2^nn! tem razão tfrac2^n+1/(n+1)!2^n/n!=tfrac2n+1to0<1, logo convergente.
2. Cauchy (Raiz). Define-se
L = limntoinfty raiz[n]|an|
As conclusões são as mesmas do teste da razão.
Exemplo: sum (tfrac32)^n tem raiz[n]|an|=tfrac32>1, logo diverge.

Passo 5

Regra de Leibniz
Aplica-se a séries alternadas do tipo
sumn=1^infty (-1)^n-1 bn,
onde bn é positivo, decrescente ( bn+1<= bn) e tende a zero ( lim bn = 0). A regra garante que a série converge.
Exemplo clássico: série alternada harmônica
sumn=1^infty (-1)^n-1n,
que converge (embora a harmônica pura diverja).

Passo 6

Convergência absoluta e condicional
1. Convergência absoluta: dizemos que sum an converge absolutamente se sum |an| converge. Séries absolutamente convergentes sempre convergem.
2. Convergência condicional: sum an converge, mas sum |an| diverge.
Exemplo de convergência condicional: a alternada harmônica sum(-1)^n-1/n converge (por Leibniz) mas sum1/n diverge, logo é condicional.

Resposta

Discutimos o conceito de série numérica, definimos convergência via somas parciais e vimos exemplos (geométrica e harmônica). Apresentamos o Critério da Comparação direta e por limite, os Testes de d’Alambert (razão) e de Cauchy (raiz), a Regra de Leibniz para séries alternadas e, por fim, a distinção entre convergência absoluta (que implica convergência) e condicional (que não implica).

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