(2,0) Disserte sobre o tema Séries Numéricas. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
Definição e exemplos,
Critério da Comparação,
Testes de d’ Alembert e de Cauchy,
Regra de Leibniz,
Séries absolutamente convergentes e condicionalmente convergentes.
Passo 1
O enunciado pede uma dissertação sobre Séries Numéricas, cobrindo definição e exemplos, Critério da Comparação, Testes de d’Alambert e de Cauchy, Regra de Leibniz e distinção entre convergência absoluta e condicional. Vamos estruturar a exposição em blocos didáticos para cada tópico, explicando a teoria, dando exemplos e ligando um conceito ao outro.
Passo 2
Definição e exemplos
Uma série numérica é a soma infinita dos termos de uma sequência . Escrevemos
e definimos a -ésima soma parcial
Dizemos que a série converge se o limite
existe e é finito; caso contrário, a série diverge.
Exemplo : Série geométrica
que converge para sempre que .
Exemplo : Série harmônica
que diverge porque .
Passo 3
Critério da Comparação . Comparação Direta. Se para todo suficientemente grande e converge, então também converge. Do mesmo modo, se diverge e , então diverge. . Comparação por Limite. Se , e
existe com , então e têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Exemplo: Para testar usamos comparação com , sabendo que converge.
Passo 4
Testes de d’Alambert e de Cauchy . d’Alambert (Razão). Para , define-se
Se L<1, a série sum an converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.
Exemplo: sum tfrac2^nn! tem razão tfrac2^n+1/(n+1)!2^n/n!=tfrac2n+1to0<1, logo convergente. 2. Cauchy (Raiz). Define-se
L = limntoinfty raiz[n]|an|
As conclusões são as mesmas do teste da razão.
Exemplo: sum (tfrac32)^n tem raiz[n]|an|=tfrac32>1, logo diverge.
Passo 5
Regra de Leibniz
Aplica-se a séries alternadas do tipo
sumn=1^infty (-1)^n-1 bn,
onde bn é positivo, decrescente (bn+1<= bn) e tende a zero (lim bn = 0). A regra garante que a série converge.
Exemplo clássico: série alternada harmônica
sumn=1^infty (-1)^n-1n,
que converge (embora a harmônica pura diverja).
Passo 6
Convergência absoluta e condicional 1. Convergência absoluta: dizemos que sum an converge absolutamente se sum |an| converge. Séries absolutamente convergentes sempre convergem. 2. Convergência condicional: sum an converge, mas sum |an| diverge.
Exemplo de convergência condicional: a alternada harmônica sum(-1)^n-1/n converge (por Leibniz) mas sum1/n diverge, logo é condicional.
Resposta
Discutimos o conceito de série numérica, definimos convergência via somas parciais e vimos exemplos (geométrica e harmônica). Apresentamos o Critério da Comparação direta e por limite, os Testes de d’Alambert (razão) e de Cauchy (raiz), a Regra de Leibniz para séries alternadas e, por fim, a distinção entre convergência absoluta (que implica convergência) e condicional (que não implica).