Questão 4 ( 3,0 pontos)
Ache a solução do problema de Dirichlet no setor circular:
Passo 1
O enunciado pede a solução de Laplace em coordenadas polares dentro do setor
com contorno de Dirichlet
em
e em
e
.
O conteúdo é a separação de variáveis em coordenadas polares, encontrando modos angulares que satisfaçam as condições de contorno em , depois as soluções radiais regulares em
, e finalmente expandindo
numa série de senos.
O conteúdo é a separação de variáveis em coordenadas polares, encontrando modos angulares que satisfaçam as condições de contorno em
Passo 2
Supomos
. Substituindo em
e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação.
Passo 3
As condições
e
exigem modos senoidais
com
Logo
.
Passo 4
Para cada
, a equação radial é
cuja solução geral é
. Como queremos
regular em
, escolhemos
, ou seja
Passo 5
A solução geral fica
Na fronteira
deve valer
, isto é
Definindo
temos a expansão de
em senos no intervalo
.
Passo 6
Pelos modos ortogonais
os coeficientes são
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