Questão 4 ( 3,0 pontos)

Ache a solução do problema de Dirichlet no setor circular:
& ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0, em D: r<2,0<theta<2 pi3 & u=0, nos lados theta=0 e theta=2 pi3 & u(2, theta)=f(theta)

Passo 1

O enunciado pede a solução de Laplace em coordenadas polares dentro do setor
D = (r,theta)mid 0<r<2,;0<theta<tfrac2pi3
com contorno de Dirichlet u=0 em theta=0 e em theta=2pi/3 e u(2,theta)=f(theta).
O conteúdo é a separação de variáveis em coordenadas polares, encontrando modos angulares que satisfaçam as condições de contorno em theta, depois as soluções radiais regulares em r=0, e finalmente expandindo f(theta) numa série de senos.

Passo 2

Supomos u(r,theta)=R(r),Theta(theta). Substituindo em
urr+1r,ur+1r^2uthetatheta=0
e dividindo por R,Theta obtemos
r^2R''+rR'R + Theta''Theta=0 ;Longrightarrow; r^2R''+rR'=lambda,R, Theta''+lambda,Theta=0,
onde lambda é constante de separação.

Passo 3

As condições Theta(0)=0 e Theta(2pi/3)=0 exigem modos senoidais
Thetan(theta)=sin!l(tfracnpialpha,thetar), alpha=tfrac2pi3,
com
lambdan=l(tfracnpialphar)^2 =l(tfrac3n2r)^2, n=1,2,3,dots
Logo Thetan(theta)=sinl(tfrac3n2,thetar).

Passo 4

Para cada lambdan, a equação radial é
r^2R''+rR'-l(tfrac3n2r)^2R=0,
cuja solução geral é Rn(r)=An,r^3n/2+Bn,r^-3n/2. Como queremos u regular em r=0, escolhemos Bn=0, ou seja
Rn(r)=An,r^3n/2

Passo 5

A solução geral fica
u(r,theta) =sumn=1^inftyAn,r^3n/2,sin!l(tfrac3n2,thetar)
Na fronteira r=2 deve valer u(2,theta)=f(theta), isto é
f(theta) =sumn=1^inftyAn,2^3n/2,sin!l(tfrac3n2,thetar)
Definindo
an = An,2^3n/2,
temos a expansão de f em senos no intervalo [0,2pi/3].

Passo 6

Pelos modos ortogonais
integral0^2pi/3 sin!(3n2,theta) sin!(3m2,theta),dtheta = 0,&nneq m,[6pt] 2pi/32=pi3,&n=m,
os coeficientes são
an =22pi/3 integral0^2pi/3f(theta), sin!(3n2,theta),dtheta =3pi integral0^2pi/3f(theta), sin!(3n2,theta),dtheta
Logo
An = an2^3n/2 =3pi,2^3n/2 integral0^2pi/3f(theta), sin!(3n2,theta),dtheta ]

Resposta

boxed u(r,theta) =sumn=1^infty gl[3pi,2^3n/2 integral0^2pi/3f(phi), sin!l(tfrac3n2,phir),dphigr] ,r^3n/2, sin!l(tfrac3n2,thetar)

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