Q. 8. O limite lim x 1 2 x-2sen(pi x) é igual a:
(a) -pi;
(b) 2 pi;
(c) -2pi;
(d) 1pi.

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto12x-2sin(pi x)
O conteúdo é cálculo de limites em forma indeterminada 0/0 e vamos usar a regra de L\’Hôpital, além de conhecer derivadas de funções polinomiais e trigonométricas.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: ao xto1
2x-2 to 2cdot1-2=0,
sin(pi x)tosin(picdot1)=sin(pi)=0,
logo temos 0/0 e podemos aplicar L\’Hôpital.

Passo 3

Pela regra de L\’Hôpital derivamos numerador e denominador:
  • Derivada de 2x-2 é 2.
  • Derivada de sin(pi x) é picos(pi x).
Assim
limxto12x-2sin(pi x) =limxto12picos(pi x)

Passo 4

Avaliamo-lo em x=1:
2picos(picdot1) =2picos(pi) =2picdot(-1) =-2pi

Resposta

-2pi, que corresponde à letra (c).

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