3.4S Usando uma série de potências adequada, aproxime cada integral dada abaixo com 4 casas decimais:
integral0^1 / 3 d x1+x^6

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, com quatro casas decimais, a integral
integral0^1/3dx1+x^6
usando série de potências. Vamos usar a expansão de
tfrac11+t=sumn=0^infty(-1)^n t^n válida para |t|<1, com t=x^6, e integrar termo a termo.

Passo 2

Expansão e integração termo a termo:
11+x^6 =sumn=0^infty(-1)^n x^6n,
logo
integral0^1/3dx1+x^6 =sumn=0^infty(-1)^nintegral0^1/3x^6ndx =sumn=0^infty(-1)^n(1/3)^6n+16n+1

Passo 3

Para garantir erro menor que 5times10^-5 (critério de quatro casas decimais), usamos o fato de a série ser alternada com termos decrescentes em módulo. Basta tomar N tal que
gl|(1/3)^6(N+1)+16(N+1)+1gr|<5times10^-5
Para N=1 o próximo termo ( n=2) vale
(1/3)^1313approx4,8times10^-8<5times10^-5,
logo basta somar os termos n=0 e n=1.

Passo 4

Calculando os dois primeiros termos:
n=0:&(1/3)^11=13approx0,33333333, n=1:&-(1/3)^77=-17cdot3^7=-115309approx-0,00006532
Somando,
integral0^1/3dx1+x^6 approx0,33333333-0,00006532=0,33326801
Arredondando para quatro casas decimais (e olhando o quinto dígito, que é 6), obtemos 0,3333.

Resposta

0,3333

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