Exercício 12 (K.11.4 Ex:2)
Seja uma função -periódica e Riemann integrável. Mostre que:
i) Mostre que se é par, então os coeficientes são números reais.
ii) Mostre que se é ímpar, então os coeficientes são números imaginários puros.
Passo 1
O enunciado dá uma função de período e integrável no sentido de Riemann, e pede para mostrar:
i) se é par (), então cada coeficiente de Fourier
é um número real;
ii) se é ímpar (), então cada é um imaginário puro.
Para resolver, vamos expressar em parte real e imaginária usando as fórmulas de Euler e aplicar a propriedade de integrais de funções pares e ímpares.
Passo 2
Usando
podemos escrever
Assim
cn = An ;-; i,Bn,
onde
An = 12piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, Bn = 12piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx
Passo 3
Suponha que f seja par, isto é, f(-x)=f(x).
O produto f(x)cos(nx) é par (produto de par por par), logo An =12piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx in R
O produto f(x)sin(nx) é ímpar (par vezes ímpar), e a integral de função ímpar em [-pi,pi] vale zero. Assim Bn =12piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx =0
Portanto, para f par vale
cn = An - icdot 0 = An in R
Passo 4
Suponha que f seja ímpar, isto é, f(-x)=-f(x).
O produto f(x)cos(nx) é ímpar (ímpar vezes par), logo An =12piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx =0
O produto f(x)sin(nx) é par (ímpar vezes ímpar), e assim Bn =12piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx in R
Logo, para f ímpar temos
cn = 0 - i,Bn = -,i,Bn,
ou seja, cn é um imaginário puro.
Resposta
i) Se f é par, então cninR.
ii) Se f é ímpar, então cn é imaginário puro.