Exercício 12 (K.11.4 Ex:2)
Seja f: R C uma função 2 pi-periódica e Riemann integrável. Mostre que:
i) Mostre que se f é par, então os coeficientes cn são números reais.
ii) Mostre que se f é ímpar, então os coeficientes cn são números imaginários puros.

Passo 1

O enunciado dá uma função fcolonRtoC de período 2pi e integrável no sentido de Riemann, e pede para mostrar:
i) se f é par ( f(-x)=f(x)), então cada coeficiente de Fourier
cn = 12piintegral-pi^pi f(x),e^-i n x,dx
é um número real;
ii) se f é ímpar ( f(-x)=-f(x)), então cada cn é um imaginário puro.
Para resolver, vamos expressar cn em parte real e imaginária usando as fórmulas de Euler e aplicar a propriedade de integrais de funções pares e ímpares.

Passo 2

Usando
e^-i n x = cos(nx) ;-; i,sin(nx),
podemos escrever
cn =12piintegral-pi^pif(x)l[cos(nx)-isin(nx)r]dx =underbrace12piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dxAn ;-;i,underbrace12piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dxBn
Assim
cn = An ;-; i,Bn,
onde
An = 12piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx, Bn = 12piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx

Passo 3

Suponha que f seja par, isto é, f(-x)=f(x).
  • O produto f(x)cos(nx) é par (produto de par por par), logo An =12piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx in R
  • O produto f(x)sin(nx) é ímpar (par vezes ímpar), e a integral de função ímpar em [-pi,pi] vale zero. Assim Bn =12piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx =0
Portanto, para f par vale
cn = An - icdot 0 = An in R

Passo 4

Suponha que f seja ímpar, isto é, f(-x)=-f(x).
  • O produto f(x)cos(nx) é ímpar (ímpar vezes par), logo An =12piintegral-pi^pif(x)cos(nx),dx =0
  • O produto f(x)sin(nx) é par (ímpar vezes ímpar), e assim Bn =12piintegral-pi^pif(x)sin(nx),dx in R
Logo, para f ímpar temos
cn = 0 - i,Bn = -,i,Bn,
ou seja, cn é um imaginário puro.

Resposta

i) Se f é par, então cninR.
ii) Se f é ímpar, então cn é imaginário puro.

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