(2,0) Disserte sobre o tema Transformações lineares. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
- Definição e exemplos,
- Núcleo, imagem e isomorfismo de espaços vetoriais,
- Teorema do Núcleo e da Imagem.
Passo 1
Resumimos o enunciado: devemos dissertar sobre o tema “transformações lineares” abordando (i) definição e exemplos, (ii) núcleo, imagem e isomorfismo de espaços vetoriais, e (iii) o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity). Para isso, precisaremos da noção de espaço vetorial, de função linear entre esses espaços e das dimensões de subespaços.
Passo 2
Definir formalmente o que é uma transformação linear e ilustrar com exemplos de fácil visualização, como projeções e multiplicação por matriz. Isso estabelece a base para entender as demais propriedades.
Passo 3
Introduzir as ideias de núcleo e imagem de uma transformação linear, mostrar que ambos são subespaços vetoriais, e usar essas noções para discutir quando duas transformações induzem um isomorfismo entre espaços vetoriais.
Passo 4
Enunciar o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema do posto e da nulidade) para transformações lineares em espaços de dimensão finita, fornecendo um esboço de prova e destacando as consequências sobre injetividade e sobrejetividade.
Passo 5
Selecionar uma linguagem informal e exemplificar cada conceito com cuidado, interligando-os de modo que o leitor entenda a progressão lógica do tema e veja como os tópicos se encaixam.
Resposta
Amigo, vamos descomplicar transformações lineares!
Uma transformação linear é simplesmente uma função
entre espaços vetoriais que respeita adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para todo
e escalar
,
Exemplos clássicos:
— Projeção no plano, que manda .
— Diferenciação de polinômios, , com
.
— Multiplicação por matriz ,
, em que fica claro que
e
.
— Projeção no plano, que manda
— Diferenciação de polinômios,
— Multiplicação por matriz
Para entender a “falha” ou o “alcance” de
, definimos dois subespaços:
— O núcleo, . Ele reúne tudo o que é enviado para o vetor nulo.
— A imagem, . É o conjunto de vetores de
que realmente são atingidos.
Ambos são subespaços, pois fecham em soma e em multiplicação por escalar — basta usar as propriedades lineares de .
— O núcleo,
— A imagem,
Ambos são subespaços, pois fecham em soma e em multiplicação por escalar — basta usar as propriedades lineares de
Quando
e
, dizemos que
é invertível e, assim,
e
são isomorfos. Um isomorfismo é apenas uma bijeção que preserva a estrutura vetorial — ele mostra que
e
“têm a mesma forma”, mesmo que seus elementos sejam diferentes.
O Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity) junta tudo isso num só conta-gotas:
Em palavras, a dimensão do espaço de partida se particiona em duas partes: a que “some” no núcleo (a nulidade) e a que “sobrevive” até a imagem (o posto). A prova, em linhas gerais, constrói uma base de
e a estende a uma base de
, mostrando que os vetores extras formam uma base de
.
Consequências práticas:
— é injetiva se e somente se
.
— é sobrejetiva se e somente se
.
— Logo, em espaços de mesma dimensão, injetividade sobrejetividade
isomorfismo.
—
—
— Logo, em espaços de mesma dimensão, injetividade
Pronto! Assim você entende a definição, vê exemplos, conhece núcleo, imagem e isomorfismo e finalmente domina o Teorema do Núcleo e da Imagem, a espinha dorsal das transformações lineares em espaços de dimensão finita.