(2,0) Disserte sobre o tema Transformações lineares. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
  • Definição e exemplos,
  • Núcleo, imagem e isomorfismo de espaços vetoriais,
  • Teorema do Núcleo e da Imagem.

Passo 1

Resumimos o enunciado: devemos dissertar sobre o tema “transformações lineares” abordando (i) definição e exemplos, (ii) núcleo, imagem e isomorfismo de espaços vetoriais, e (iii) o Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity). Para isso, precisaremos da noção de espaço vetorial, de função linear entre esses espaços e das dimensões de subespaços.

Passo 2

Definir formalmente o que é uma transformação linear e ilustrar com exemplos de fácil visualização, como projeções e multiplicação por matriz. Isso estabelece a base para entender as demais propriedades.

Passo 3

Introduzir as ideias de núcleo e imagem de uma transformação linear, mostrar que ambos são subespaços vetoriais, e usar essas noções para discutir quando duas transformações induzem um isomorfismo entre espaços vetoriais.

Passo 4

Enunciar o Teorema do Núcleo e da Imagem (também conhecido como Teorema do posto e da nulidade) para transformações lineares em espaços de dimensão finita, fornecendo um esboço de prova e destacando as consequências sobre injetividade e sobrejetividade.

Passo 5

Selecionar uma linguagem informal e exemplificar cada conceito com cuidado, interligando-os de modo que o leitor entenda a progressão lógica do tema e veja como os tópicos se encaixam.

Resposta

Amigo, vamos descomplicar transformações lineares!
Uma transformação linear é simplesmente uma função Tcolon Vto W entre espaços vetoriais que respeita adição e multiplicação por escalar. Ou seja, para todo u,vin V e escalar lambda,
T(u+v)=T(u)+T(v), T(lambda v)=lambda,T(v)
Exemplos clássicos:
— Projeção no plano, que manda (x,y)mapsto(x,0).
— Diferenciação de polinômios, Dcolon Pnto Pn-1, com Dl(a0+a1x+cdots+anx^nr)=a1+2a2x+cdots+nanx^n-1.
— Multiplicação por matriz A, T(v)=A,v, em que fica claro que A(v+w)=Av+Aw e A(lambda v)=lambda(Av).
Para entender a “falha” ou o “alcance” de T, definimos dois subespaços:
— O núcleo, ker T=vin Vmid T(v)=0. Ele reúne tudo o que é enviado para o vetor nulo.
— A imagem, im,T=T(v)mid vin Vsubseteq W. É o conjunto de vetores de W que realmente são atingidos.
Ambos são subespaços, pois fecham em soma e em multiplicação por escalar — basta usar as propriedades lineares de T.
Quando ker T=0 e im,T=W, dizemos que T é invertível e, assim, V e W são isomorfos. Um isomorfismo é apenas uma bijeção que preserva a estrutura vetorial — ele mostra que V e W “têm a mesma forma”, mesmo que seus elementos sejam diferentes.
O Teorema do Núcleo e da Imagem (rank–nullity) junta tudo isso num só conta-gotas:
dim V = diml(ker Tr) + diml(im,Tr)
Em palavras, a dimensão do espaço de partida se particiona em duas partes: a que “some” no núcleo (a nulidade) e a que “sobrevive” até a imagem (o posto). A prova, em linhas gerais, constrói uma base de ker T e a estende a uma base de V, mostrando que os vetores extras formam uma base de im,T.
Consequências práticas:
T é injetiva se e somente se dim(ker T)=0.
T é sobrejetiva se e somente se dim(im,T)=dim W.
— Logo, em espaços de mesma dimensão, injetividade Leftrightarrow sobrejetividade Leftrightarrow isomorfismo.
Pronto! Assim você entende a definição, vê exemplos, conhece núcleo, imagem e isomorfismo e finalmente domina o Teorema do Núcleo e da Imagem, a espinha dorsal das transformações lineares em espaços de dimensão finita.

Exercícios relacionados