Q. 4(1,8). Determine as constantes M e N de modo que a função f seja contínua, em que
2 x^2-N & se x<0 7 x-3 M & se x=0 -1-2 M cos (pi+x) & se x>0

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos cada ramo é combinação de polinômios e cosseno (todos contínuos), só precisamos garantir continuidade em . Para isso, exigimos

Passo 2

Calcular o limite pela esquerda em 0. Para x<0,
limxto0^-f(x)=limxto0^-(2x^2-N)=0 - N=-N

Passo 3

Avaliar f em 0. Pelo enunciado,
f(0)=7cdot0-3M=-3M

Passo 4

Calcular o limite pela direita em 0. Para x>0,
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(-1-2Mcos(pi+x)r)
Como cos(pi+0)=cospi=-1, obtemos
limxto0^+f(x)=-1-2Mcdot(-1)=-1+2M

Passo 5

Impor as igualdades de continuidade:
-N = -3M e -3M = -1+2M
Da primeira vem N=3M. Da segunda,
-3M=2M-1 ;Longrightarrow;-5M=-1 ;Longrightarrow;M=tfrac15
Então N=3M=3cdottfrac15=tfrac35

Resposta

M=15, N=35

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