Problema 05 Calcule as derivadas abaixo através da definição então lim h 0 f(x+h)-f(x)h
f(x)=2 x^2-x-1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=2x^2 - x - 1 usando a definição
f'(x)=limhto 0f(x+h)-f(x)h
Vamos aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 2

Calcular f(x+h). Substituindo xmapsto x+h em f,
f(x+h) = 2(x+h)^2 - (x+h) - 1
Expandindo,
(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2,
portanto
f(x+h) = 2l(x^2+2xh+h^2r) - x - h - 1 = 2x^2 + 4xh + 2h^2 - x - h - 1

Passo 3

Montar a diferença f(x+h)-f(x). Como f(x)=2x^2 - x -1, temos
f(x+h)-f(x) = l(2x^2 + 4xh + 2h^2 - x - h - 1r) - l(2x^2 - x -1r)
Simplificando,
f(x+h)-f(x) = 4xh + 2h^2 - h

Passo 4

Formar o quociente e simplificar:
f(x+h)-f(x)h = 4xh + 2h^2 - hh = 4x + 2h - 1

Passo 5

Tomar o limite quando hto 0:
f'(x)=limhto 0(4x + 2h - 1) = 4x - 1

Resposta

A derivada de f(x) é
f'(x)=4x - 1

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