Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções
:
, para
e
, para
.
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções
Passo 1
O enunciado dá a função
definida em
, e pede (a) a série de Fourier seno e (b) a série de Fourier cosseno em
.
Para a série de Fourier seno usamos
Para a série de Fourier seno usamos
Para a série de Fourier cosseno usamos
Passo 2
Calculemos primeiro
Na primeira parcela faça integração por partes com
,
:
Chame este resultado de
I1 . Na segunda parcela use a mudança
t=pi-theta , obtém-se
Logo
que é
0 se
n é par, e
2I1 se
n é ímpar. Para
n=2k-1 ímpar, observe
cos((2k-1)pi/2)=0 e
sin((2k-1)pi/2)=(-1)^k-1 , logo
e
Portanto
Passo 3
A série de Fourier seno fica
Passo 4
Agora o cosseno. Primeiro o coeficiente
A0 :
logo
Para
n>=1 , defina
Com integração por partes em
integral0^pi/2thetacos(ntheta)dtheta obtemos
Chame este valor de
J1 . De modo análogo ao caso seno, a segunda parcela vale
(-1)^nJ1 , de modo que
que anula para
n ímpar e vale
2J1 para
n=2k . Para
n=2k temos
sin(kpi)=0 ,
cos(kpi)=(-1)^k , portanto
e
Logo
Passo 5
Como
(-1)^k-1 é zero se
k é par e vale
-2 se
k é ímpar, temos só termos em
n=2k com
k ímpar. Assim a série de Fourier cosseno é
Resposta
Série de Fourier seno:
Série de Fourier cosseno: