Exercício 19 (F.2.4 ex. 1 a 6)
Ache as séries de Fourier seno e séries de Fourier cosseno das seguintes funções f:[0, pi] R :
f(theta)=theta, para 0 <= theta <= pi2 e f(theta)=pi-theta, para pi2 <= theta <= pi.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(theta)= theta, &0<= theta<= tfracpi2, pi-theta,&tfracpi2<=theta<=pi,
definida em [0,pi], e pede (a) a série de Fourier seno e (b) a série de Fourier cosseno em [0,pi].
Para a série de Fourier seno usamos
f(theta)=sumn=1^infty Bnsin(ntheta), Bn=2piintegral0^pi f(theta),sin(ntheta),dtheta
Para a série de Fourier cosseno usamos
f(theta)=A02+sumn=1^infty Ancos(ntheta), An=2piintegral0^pi f(theta),cos(ntheta),dtheta

Passo 2

Calculemos primeiro
In=integral0^pi f(theta)sin(ntheta),dtheta =integral0^pi/2thetasin(ntheta),dtheta +integralpi/2^pi(pi-theta)sin(ntheta),dtheta
Na primeira parcela faça integração por partes com u=theta, dv=sin(ntheta)dtheta:
integral0^pi/2thetasin(ntheta)dtheta =-thetacos(ntheta)n|0^pi/2 +1nintegral0^pi/2cos(ntheta)dtheta =-picos(tfracnpi2)2n +sin(tfracnpi2)n^2
Chame este resultado de I1. Na segunda parcela use a mudança t=pi-theta, obtém-se
integralpi/2^pi(pi-theta)sin(ntheta)dtheta =(-1)^,n+1I1
Logo
In=I1l[1+(-1)^,n+1r],
que é 0 se n é par, e 2I1 se n é ímpar. Para n=2k-1 ímpar, observe cos((2k-1)pi/2)=0 e sin((2k-1)pi/2)=(-1)^k-1, logo
I1=(-1)^k-1(2k-1)^2,
e
I2k-1=2I1=2(-1)^k-1(2k-1)^2
Portanto
Bn=2piIn = 4(-1)^,k-1pi(2k-1)^2,&n=2k-1, 0,&n par

Passo 3

A série de Fourier seno fica
boxed f(theta) =sumk=1^infty4(-1)^,k-1pi(2k-1)^2 ;sinl((2k-1)thetar)

Passo 4

Agora o cosseno. Primeiro o coeficiente A0:
integral0^pi f(theta),dtheta =integral0^pi/2theta,dtheta +integralpi/2^pi(pi-theta),dtheta =pi^24,
logo
A0=2picdotpi^24=pi2, A02=pi4
Para n>=1, defina
Jn=integral0^pi f(theta)cos(ntheta),dtheta =integral0^pi/2thetacos(ntheta)dtheta +integralpi/2^pi(pi-theta)cos(ntheta)dtheta
Com integração por partes em integral0^pi/2thetacos(ntheta)dtheta obtemos
integral0^pi/2thetacos(ntheta)dtheta =pisin(tfracnpi2)2n +cos(tfracnpi2)-1n^2
Chame este valor de J1. De modo análogo ao caso seno, a segunda parcela vale (-1)^nJ1, de modo que
Jn=J1l[1+(-1)^nr],
que anula para n ímpar e vale 2J1 para n=2k. Para n=2k temos sin(kpi)=0, cos(kpi)=(-1)^k, portanto
J1|n=2k =(-1)^k-1(2k)^2 =(-1)^k-14k^2,
e
J2k=2J1 =(-1)^k-12k^2
Logo
A2k=2piJ2k =(-1)^k-1pi,k^2, An=0para (n) ímpar í

Passo 5

Como (-1)^k-1 é zero se k é par e vale -2 se k é ímpar, temos só termos em n=2k com k ímpar. Assim a série de Fourier cosseno é
boxed f(theta) =pi4 -summ=1^infty2pi,(2m-1)^2 cosl(2(2m-1)thetar)

Resposta

Série de Fourier seno:
f(theta) =sumk=1^infty4(-1)^,k-1pi(2k-1)^2 sinl((2k-1)thetar)
Série de Fourier cosseno:
f(theta) =pi4 -summ=1^infty2pi,(2m-1)^2 cosl(2(2m-1)thetar)

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