A dissociação do ácido 3 - ceto-pentanodióico é irreversível e a sua constante de velocidade vale 2,46 \times 10^{-5} \mathrm{~min}^{-1} \mathrm{e} 5,76 \times 10^{-3} \mathrm{~min}^{-1} a temperatura de 273 K e 313 K , respectivamente. Calcule o tempo necessário para uma conversão de 80 \% a 350 K .

Passo 1

O enunciado dá a dissociação irreversível do ácido 3‑ceto‑pentanodióico com duas constantes de velocidade medidas em duas temperaturas e pede o tempo necessário para atingir conversão de 80\% a 350\\ \mathrm{K}.
Dados fornecidos:
k_1 = 2,46\times10^{-5}\\ \mathrm{min^{-1}}\quad\text{em}\quad T_1 = 273\\ \mathrm{K}
k_2 = 5,76\times10^{-3}\\ \mathrm{min^{-1}}\quad\text{em}\quad T_2 = 313\\ \mathrm{K}
Pergunta: calcular o tempo t necessário para conversão de 80\% (ou seja, fração reagida =0,80) a T = 350\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Identificar a relação térmica entre as constantes: vamos usar a equação de Arrhenius, que conecta a dependência da constante de velocidade k com a temperatura T. Vou explicar a equação e as variáveis:
A equação de Arrhenius na forma logarítmica é
\ln k = \ln A - \frac{E_a}{R\,T},
onde:
  • \ln é o logaritmo natural;
  • k é a constante de velocidade (aqui em \mathrm{min^{-1}});
  • A é o fator pré‑exponencial (ou frequência);
  • E_a é a energia de ativação (em \mathrm{J\\ mol^{-1}});
  • R é a constante dos gases ideais, R = 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}};
  • T é a temperatura absoluta (em K).
Com duas constantes em duas temperaturas podemos eliminar A e determinar E_a usando
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right)= -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right).
Essa fórmula é apenas a subtração das duas formas de \ln k.

Passo 3

Calcular a energia de ativação E_a a partir dos dados dados. Primeiro calculemos o lado esquerdo:
\frac{k_2}{k_1} = \frac{5,76\times10^{-3}}{2,46\times10^{-5}} = 234,14634\ldots
\ln\!\left(\frac{k_2}{k_1}\right) \approx 5,456\!.
Agora calculemos a diferença de inversos de temperatura:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{1}{273}-\frac{1}{313}.
Vamos avaliar numericamente:
\frac{1}{273}\approx 0,0036630037,\quad \frac{1}{313}\approx 0,0031948882,
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}\approx 0,0004681155\\ \mathrm{K^{-1}}.
Isolando E_a da equação de Arrhenius:
E_a = R\,\frac{\ln(k_2/k_1)}{(1/T_1 - 1/T_2)}.
Substituindo valores:
E_a \approx 8,314\cdot\frac{5,456}{0,0004681155}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Calculemos o numerador: 8,314\times5,456\approx 45,37.
Agora a divisão:
E_a \approx \frac{45,37}{0,0004681155}\approx 96{,}9\times10^{3}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}.
Portanto
E_a \approx 9,69\times10^{4}\\ \mathrm{J\,mol^{-1}}\quad(\text{ou }96{,}9\\ \mathrm{kJ\,mol^{-1}}).

Passo 4

Agora que temos E_a, vamos calcular a constante de velocidade k à T=350\\ \mathrm{K}. Podemos usar a forma
\ln\!\left(\frac{k}{k_1}\right)= -\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T}-\frac{1}{T_1}\right)
ou equivalentemente
\ln k = \ln k_1 + \frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T}\right).
Primeiro calcule a diferença de inversos:
\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T}=\frac{1}{273}-\frac{1}{350}.
Numericamente:
\frac{1}{350}\approx 0,0028571429,
\frac{1}{273}-\frac{1}{350}\approx 0,0036630037-0,0028571429=0,0008058608\\ \mathrm{K^{-1}}.
Calculemos \dfrac{E_a}{R}:
\frac{E_a}{R}\approx \frac{9,69\times10^{4}}{8,314}\approx 11{,}65\times10^{3}.
Agora o produto
\frac{E_a}{R}\left(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T}\right)\approx 11{,}65\times10^{3}\times0,0008058608\approx 9,39.
Logo
\ln k \approx \ln(2,46\times10^{-5}) + 9,39.
Calcule \ln(2,46\times10^{-5}):
\ln(2,46)\approx 0,900,\quad \ln(10^{-5})=-11,5129255,
\ln(2,46\times10^{-5})\approx 0,900 -11,5129255 \approx -10,613\!.
Portanto
\ln k \approx -10,613 + 9,39 = -1,223.
Tomando exponencial:
k(350\\ \mathrm{K}) \approx e^{-1,223}\approx 0,294\\ \mathrm{min^{-1}}.

Passo 5

Explicar a cinética e a relação com conversão: a unidade de k dada ( \mathrm{min^{-1}}) indica reação de primeira ordem (unimolecular) em relação ao reagente que dissocia. Para uma reação de primeira ordem, a concentração do reagente decai exponencialmente:
[A](t)=[A]_0 e^{-k t}.
A conversão X (fração reagida) é
X = 1 - \frac{[A](t)}{[A]_0} = 1 - e^{-k t}.
Para uma conversão desejada X, isolamos t:
e^{-k t} = 1 - X \quad\Rightarrow\quad t = -\frac{1}{k}\ln(1-X).

Passo 6

Aplicar a fórmula para X=0,80 e k=0,294\\ \mathrm{min^{-1}}:
t = -\frac{1}{0,294}\ln(1-0,80) = -\frac{1}{0,294}\ln(0,20).
Calcule \ln(0,20)=\ln(1/5)=-\ln 5 \approx -1,609438. Então
t \approx \frac{1,609438}{0,294}\approx 5,48\\ \mathrm{min}.
Arredondando com razoável número de algarismos significativos:
t \approx 5,46\\ \mathrm{min}.

Resposta

t \approx 5,46\\ \mathrm{min}

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