[Dist Bin] Numa série do campeonato de basquete d NBA, o time que ganhar quatro jogos em sete será vencedor. Qual é a probabilidade de que A vença a série em exatamente seis jogos?
Numa série do campeonato de basquete d NBA, o time que ganhar quatro jogos em sete será vencedor. Suponha que o time A tenha probabilidade de 0,55 de ganhar do time B e que ambos os times A e B se enfrentam nos jogos do campeonato. Qual é a probabilidade de que A vença a série em exatamente seis jogos?
◯ 0,3917
◯ 0,1853
◯ 0,6083
◯ 0,8147
◯ 0,4069

Passo 1

O enunciado e os dados relevantes (em forma clara):
  • A série termina quando um time chega a 4 vitórias, em no máximo 7 jogos.
  • A probabilidade de o time A ganhar qualquer jogo é \,p=0,55 (assume-se jogos independentes).
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que A vença a série exatamente em 6 jogos?

Passo 2

Entendendo o que significa “A vence a série em exatamente 6 jogos”:
  • Para A conquistar a série no jogo 6, A precisa obter sua 4ª vitória exatamente no jogo 6.
  • Isso implica que, após os primeiros 5 jogos, A tinha exatamente 3 vitórias (não 4), e no jogo 6 A vence (conseguindo a 4ª).
  • Portanto o evento desejado é: “exatamente 3 vitórias de A nos primeiros 5 jogos” E “vitória de A no jogo 6”.

Passo 3

Modelagem probabilística e hipóteses:
  • Cada jogo é independente e tem probabilidade \,p=0,55 de A vencer; probabilidade de B vencer é \,1-p=0,45.
  • A probabilidade de obter exatamente k sucessos em n tentativas independentes com probabilidade p por tentativa é dada pelo coeficiente binomial:
\mathbb{P}(\text{exatamente }k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k},
onde \displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}. Aqui vamos aplicar com n=5 e k=3.

Passo 4

Calcular a probabilidade de A ter exatamente 3 vitórias nos primeiros 5 jogos:
  • O número de sequências dos 5 jogos com exatamente 3 vitórias de A é
\binom{5}{3}=\frac{5!}{3!2!}=10.
  • A probabilidade de qualquer sequência com exatamente 3 vitórias de A e 2 de B é
p^{3}(1-p)^{2}.
  • Portanto
\mathbb{P}(\text{3 vitórias de A em 5 jogos})=\binom{5}{3} p^{3}(1-p)^{2}=10\,p^{3}(1-p)^{2}.ó

Passo 5

Agora incluir a vitória de A no jogo 6:
  • A probabilidade de A vencer o jogo 6 é \,p.
  • Como os jogos são independentes, multiplicamos:
\mathbb{P}(\text{A vence a série em 6 jogos})=10\,p^{3}(1-p)^{2}\cdot p=10\,p^{4}(1-p)^{2}.é

Passo 6

Substituir p=0,55 e calcular numericamente passo a passo:
  • Calcular potências:
p^{2}=(0,55)^{2}=0,3025,
p^{4}=(p^{2})^{2}=(0,3025)^{2}=0,09150625,
(1-p)=0,45,\qquad (1-p)^{2}=(0,45)^{2}=0,2025.
  • Multiplicar os fatores:
p^{4}(1-p)^{2}=0,09150625\times 0,2025=0,018530015625.
  • Multiplicar pelo coeficiente 10:
10\times 0,018530015625=0,18530015625\approx 0,1853.

Passo 7

Interpretação final: a probabilidade de A vencer a série exatamente no sexto jogo é aproximadamente \,0,1853. Entre as alternativas dadas, a correta é \,0,1853.

Resposta

0,1853

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