(2,0 pontos) Numa região de grande variação de energia elétrica, um engenheiro eletricista tomou 9 medidas aleatoriamente escolhidas, conforme tabela a seguir.
89
97
104
112
118
122
126
127
133
Soma
simples
Soma de
quadrados
Volts
126
104
118
97
133
122
89
127
112
1028
119.192
2 pede-se:
a) A média;
b) A amplitude total;
c) A variância;
d) O desvio padrão.
| 89 | 97 | 104 | 112 | 118 | 122 | 126 | 127 | 133 |
|
|
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| Volts | 126 | 104 | 118 | 97 | 133 | 122 | 89 | 127 | 112 | 1028 | 119.192 |
a) A média;
b) A amplitude total;
c) A variância;
d) O desvio padrão.
Passo 1
O enunciado dá nove medidas (peguei os valores da tabela) e as somas já calculadas:
- Observações:
. - Soma simples (fornecida):
. - Soma dos quadrados (fornecida):
.
O que se pede:
(a) a média aritmética;
(b) a amplitude total (máximo menos mínimo);
(c) a variância;
(d) o desvio padrão.
(a) a média aritmética;
(b) a amplitude total (máximo menos mínimo);
(c) a variância;
(d) o desvio padrão.
Passo 2
Média aritmética — definição e cálculo.
- Definição: a média aritmética de uma amostra de tamanho
é
onde
é o número de observações e
é a soma das observações.
- Aqui
e . Logo
- Valor decimal aproximado:
Passo 3
Amplitude total — definição e cálculo.
- Definição: a amplitude total (range) é a diferença entre o maior e o menor valor observados:
- Dos dados,
e . Então
Passo 4
Variância — interpretação, escolha da fórmula e demonstração do cálculo.
- Importante distinguir variância populacional e variância amostral. Como temos nove medidas aleatórias (uma amostra), usa-se tipicamente a variância amostral não viesada, que tem denominador
. A fórmula prática que evita calcular cada desvio ao quadrado é:
Aqui:
-
é a variância amostral (estimador não viesado), -
é a soma dos quadrados (fornecida), -
é a soma simples (fornecida), -
é o tamanho da amostra. -
Substituindo os valores:
- Para manipular exatamente, coloque em comum denominador:
- Agora aplicar o fator
:
- Simplificando por
: . Valor decimal:
Passo 5
Desvio padrão — definição e cálculo numérico.
- Definição: o desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância amostral:
- Valor numérico aproximado (cálculo por aproximação):