(2,0 pontos) Numa região de grande variação de energia elétrica, um engenheiro eletricista tomou 9 medidas aleatoriamente escolhidas, conforme tabela a seguir.
89 97 104 112 118 122 126 127 133
Soma
simples
Soma de
quadrados
Volts 126 104 118 97 133 122 89 127 112 1028 119.192
2 pede-se:
a) A média;
b) A amplitude total;
c) A variância;
d) O desvio padrão.

Passo 1

O enunciado dá nove medidas (peguei os valores da tabela) e as somas já calculadas:
  • Observações: \;126,\;104,\;118,\;97,\;133,\;122,\;89,\;127,\;112.
  • Soma simples (fornecida): \displaystyle \sum_{i=1}^{9} x_i = 1028.
  • Soma dos quadrados (fornecida): \displaystyle \sum_{i=1}^{9} x_i^{2} = 119192.
O que se pede:
(a) a média aritmética;
(b) a amplitude total (máximo menos mínimo);
(c) a variância;
(d) o desvio padrão.

Passo 2

Média aritmética — definição e cálculo.
  • Definição: a média aritmética de uma amostra de tamanho n é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i,
onde n é o número de observações e \sum x_i é a soma das observações.
  • Aqui n=9 e \sum x_i=1028. Logo
\bar{x}=\frac{1028}{9}.
  • Valor decimal aproximado:
\bar{x}=\frac{1028}{9}\approx 114,222\ldots

Passo 3

Amplitude total — definição e cálculo.
  • Definição: a amplitude total (range) é a diferença entre o maior e o menor valor observados:
\text{amplitude}=\max(x_i)-\min(x_i).
  • Dos dados, \max(x_i)=133 e \min(x_i)=89. Então
\text{amplitude}=133-89=44.

Passo 4

Variância — interpretação, escolha da fórmula e demonstração do cálculo.
  • Importante distinguir variância populacional e variância amostral. Como temos nove medidas aleatórias (uma amostra), usa-se tipicamente a variância amostral não viesada, que tem denominador n-1. A fórmula prática que evita calcular cada desvio ao quadrado é:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}-\frac{\big(\sum_{i=1}^{n}x_i\big)^{2}}{n}\right).
Aqui:
  • s^{2} é a variância amostral (estimador não viesado),
  • \sum x_i^{2} é a soma dos quadrados (fornecida),
  • \sum x_i é a soma simples (fornecida),
  • n é o tamanho da amostra.
  • Substituindo os valores:
\big(\sum_{i=1}^{9}x_i\big)^{2}=1028^{2}=1\,056\,784.
\sum_{i=1}^{9}x_i^{2}-\frac{(\sum_{i=1}^{9}x_i)^{2}}{9} =119192-\frac{1\,056\,784}{9}.
  • Para manipular exatamente, coloque em comum denominador:
119192-\frac{1\,056\,784}{9}=\frac{119192\cdot 9-1\,056\,784}{9}=\frac{1\,072\,728-1\,056\,784}{9}=\frac{15\,944}{9}.
  • Agora aplicar o fator 1/(n-1)=1/8:
s^{2}=\frac{1}{8}\cdot\frac{15\,944}{9}=\frac{15\,944}{72}.
  • Simplificando por 8: \dfrac{15\,944}{72}=\dfrac{1\,993}{9}. Valor decimal:
s^{2}=\frac{1\,993}{9}\approx 221,444\ldots

Passo 5

Desvio padrão — definição e cálculo numérico.
  • Definição: o desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância amostral:
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{\frac{1\,993}{9}}=\frac{\sqrt{1993}}{3}.
  • Valor numérico aproximado (cálculo por aproximação):
s\approx 14,881\ldots

Resposta

\bar{x}=\dfrac{1028}{9}\approx 114,222\ldots
\text{Amplitude}=44
s^{2}=\dfrac{1993}{9}\approx 221,444\ldots
s\approx 14,881

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